Ъгълче

[Davids]

Даден е равнобедрен $\Delta ABC$ с $\angle C = 20^{\circ}$ и точки $N \in AC$ и $M \in BC$ такива, че $\angle BAM = 50^{\circ}, \angle ABN = 60^{\circ}$. Търси се $\angle NMC$ или алтернативно да се докаже, че не може да бъден намерен с даденото, тъй като задачата е, така да кажа, „фолклорна“ не е от верифициран източник в точно този вид

[ptj]

Нищо сложно - взимаш едната страна на [tex]\triangle ABC[/tex] за параметър,а за да са по-удобни сметките с дължина 1.

От синусова теорема можеш да намериш останалите 2 страни, както и [tex]CN[/tex] и [tex]CM[/tex].
После от косинусова за [tex]\triangle NCM[/tex] намираш [tex]NM[/tex].
Още една косинусова и намираш търсения ъгъл.

[Davids]

Нищо сложно - взимаш едната страна на [tex]\triangle ABC[/tex] за параметър,а за да са по-удобни сметките с дължина 1.

От синусова теорема можеш да намериш останалите 2 страни, както и [tex]CN[/tex] и [tex]CM[/tex].
После от косинусова за [tex]\triangle NCM[/tex] намираш [tex]NM[/tex].
Още една косинусова и намираш търсения ъгъл.

Всъщност, ако се абстрахираме от косинусовите теореми, всичко става и само със синусови. Благодаря за идеята
Означаваме бедрото $a = 1$ за по-лесно.
Първо правим една $sinT$ за $\Delta BCN$, според която: $\frac{1}{sin40} = \frac{CN}{sin20} \Rightarrow CN = \frac{1}{2cos20}$
После аналогично за $\Delta AMC$, откъдето: $\frac{1}{sin50} = \frac{CM}{sin30} \Rightarrow CM = \frac{1}{2sin50}$
Накрая отиваме в малкия триъгълник горе $\Delta MNC$, където според $sinT$:
$\frac{CN}{sinx} = \frac{CM}{sin(20 + x)}$
И понеже $sin(20 + x) = cos(70 - x)$, то
$\frac{cos(70 - x)}{sinx} = \frac{cos20}{sin50}$
И отговорът става доста очевиден

[pal702004]

Задачата е известна като задача на Лангли (с точност до това кой от "трудните" ъгли се търси).