Решаване на триъгълник

[milen]

Здравейте, затруднявам се с геометрията и много ще съм благодарен,ако ми помогнете със следните задачи:
1) Върху продължението на страната АВ на ромба ABCD е взета точка М така, че MD=MC. Да се намери отношението на МА:МВ, ако tg < MDC = [tex]\frac{8}{5}[/tex] и В е между А и М.
отг 11:1
2) В окръжност е вписан триъгълник, една от страните на който е 2[tex]\sqrt{3}[/tex] см и е отдалечена от центъра на окръжността с 1см. Да се намери ъгълът на триъгълника, лежащ срещу тази страна.
отг. 60 или 120 градуса

[Knowledge Greedy]

2. Задачата се решава или със синусова теорема или само с чертеж и разсъждения за вписани и централни ъгли. Е, намесва се и една питагорова теорема (Но ако тя не се намеси, ще се наложи да се прояви например един тангенс [tex]tg\angle BOM = \sqrt{3}[/tex], където [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]).

Разстояние 1 от центъра O до страната AB.png (4.37 KiB) Прегледано 619 пъти

1.

Здравейте, ...
1) Върху продължението на страната [tex]АВ[/tex] на ромба [tex]ABCD[/tex] е взета точка [tex]М[/tex] така, че [tex]MD=MC[/tex]. Да се намери отношението на [tex]MA:MB[/tex], ако [tex]tg < MDC = 8/5[/tex]
...
отг. 60 или 120 градуса

Щом [tex]MD=MC[/tex], то точката [tex]M[/tex] е от симетралата на [tex]DC[/tex] и ако означим с [tex]D_1[/tex] проекцията на точка [tex]D[/tex] върху правата [tex]AB[/tex], а страната на ромба с [tex]a[/tex], то [tex]D_1M=\frac{a}{2}[/tex]
Поради наредбата [tex]A - D_1 - B - M[/tex] на точките [tex]A, D_1, B[/tex] и [tex]M[/tex] върху правата, съдържаща основата [tex]AB[/tex] на ромба, за да намерим разстоянието [tex]MA[/tex], остава да изразим [tex]AD_1[/tex].
Това става с питагорова теорема [tex]AD_1^2=AD^2-DD_1^2[/tex]
[tex]AD_1^2=a^2-h^2[/tex], където от условието [tex]\frac{h}{a/2}=tg < MDC =\frac{8}{5}[/tex] определяме [tex]h=\frac{4}{5}a[/tex]
Така [tex]AD_1=\frac{3}{5}a[/tex]
и [tex]MA=AD_1+AD_1=\frac{3}{5}a+\frac{1}{2}a=\frac{11}{10}a[/tex]

И тъй като [tex]D_1B=AB-AD_1=\frac{2}{5}a[/tex],
[tex]MB=MD_1-BD_1=\frac{a}{2}-\frac{2}{5}a=\frac{1}{10}a[/tex]

Следователно [tex]MA:MB=11:1[/tex]
Ето и чертеж за ориентиране.

Тангенс 8 пети.png (3.13 KiB) Прегледано 618 пъти