Ортоцентър на триъгълник

[katq88]

В равнобедрен тъпоъгален триъгълник радиусите на вписаната и описаната окръжносто са съответно 8см и 25см. Намерете разстоянието между медицентъра М и центъра L на вписаната окръжност, ако разстоянието между L и О на описаната окръжност е 15 см

[Davids]

Последното дадено е излишно, може да се намери по формулата на Ойлер за разстояние между центровете на вписана и описана окръжност: $OL = \sqrt{R(R-2r)} = \frac{25(25-16)} = \sqrt{25.9} = 15$

Триъгълникът е равнобедрен, следователно всичките точки са на една права - симетралата на основата. А понеже е тъпоъгълен, то центърът на описаната лежи извън триъгълника. Ако височината към основата е $CH$, то редът на точките отгоре надолу е $CLMHO$.

$OL = 15 \Rightarrow CL = OC - OL = R - OL = 25 - 15 = 10$
$LH = r = 8 \Rightarrow CH = CL + LH = 18$
По свойство на медицентъра:
$CM:MH = 2:1 \Rightarrow MH = 6$
И окончателно
$LM = LH - MH = 8 - 6 = 2$