Докажете,че

[ева]

Точка L лежи на страната АВ на [tex]\triangle[/tex]АВС,а правата,която минава през средата на АС,пресича правата АВ в т.М.
Да се докаже,че ако АМ=BL,то AL:BL=([tex]\sqrt{5}[/tex]-1):2

[ева]

Сбъркала съм условието. Ето я задачата:

Точка L лежи на страната АВ на [tex]\triangle[/tex]АВС,а правата,която минава през А и средата на CL пресича ВС в точка К.
Правата,която съединява К със средата на АС,пресича правата АВ в точка М.
Да се докаже,че ако AM=BL,то AL:BL=([tex]\sqrt{5}[/tex]-1):2

[123a]

$CN=AN=x, AM=LB=y, CP=PL=t$

Прилагаме теоремата на Менелай за [tex]\triangle[/tex]$LBC$ и правата $AK$

$\frac{AB}{AL}.\frac{LP}{PC}.\frac{CK}{KB}=1=>\frac{AL+y}{AL}.\frac{CK}{KB}=1 (*)$

Прилагаме теоремата на Менелай за [tex]\triangle[/tex]$ALC$ и правата $QM$

$\frac{ML}{AM}.\frac{AN}{NC}.\frac{CQ}{QL}=1=>\frac{AL+y}{y}.\frac{CQ}{QL}=1=>\frac{QL}{QC}=\frac{AL+y}{y} (**)$

Прилагаме теоремата на Менелай за [tex]\triangle[/tex]$BLC$ и правата $MK$

$\frac{MB}{ML}.\frac{QL}{QC}.\frac{CK}{KB}=1$ Заместваме $(**)$ и получаваме, че $\frac{CK}{KB}=\frac{y}{AL+2y}$. Последното заместваме в $(*)$ и

получаваме $\frac{AL+y}{AL}.\frac{y}{AL+2y}=1$ Но нали $BL=y$, откъдето директно може да си го заместим.

От тук получаваме хомогенното уравнение $AL^2+AL.BL-BL^2=0$ и като разделим на $BL^2\ne0$ и положим $\frac{AL}{BL}=z>0$ и получаваме
$z^2+z-1=0=>z_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}=> \frac{-1 +\sqrt{5}}{2}$ е решение.

Връщаме се към полагането и получаваме, че $\frac{AL}{BL}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

[ева]

Ще се радвам,ако я решите по още един начин (например чрез подобни тр-ци).