Намерете лицето

[ева]

Вписаната в [tex]\triangle[/tex]АВС окръжност се допира до страната му АВ в точка М. Да се намери лицето на [tex]\triangle[/tex]АВС,ако
АМ=m,BM=n,[tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\gamma[/tex].
Oтг. mncotg[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]

[123a]

Нека О е центърът на вписаната окръжност.

[tex]\angle[/tex]$AOC=90+\frac{\beta}{2}$ и $\angle$$BOC=90+\frac{\alpha}{2}$

В $\triangle$$AOC$ от синусова теорема имаме $\frac{AC}{cos\frac{\beta}{2}}=\frac{AO}{sin\frac{\gamma}{2}}=>AO=\frac{AC.sin\frac{\gamma}{2}}{cos\frac{\beta}{2}} (1)$

Аналогично от синусова теорема в $\triangle$$BOC$ имаме $BO=\frac{BC.sin\frac{\gamma}{2}}{cos\frac{ \alpha}{2}} (2)$

Умножаваме $(1)$ и $(2)$ и получаваме $AO.cos\frac{ \alpha}{2}.BO.cos\frac{\beta}{2}=AC.BC.sin^2(\frac{\gamma}{2}) (3)$

От правоъгълните триъгълници $AOM, BOM$ имаме $m=AO.cos\frac{ \alpha}{2}$, $n=BO.cos\frac{\beta}{2}$ и заместваме в $(3)$

$mn=AC.BC.sin^2(\frac{\gamma}{2})$ Умножаваме двете страни по $\frac{sin\gamma}{2}$

$mn.\frac{sin\gamma}{2}=AC.BC.\frac{sin\gamma}{2}.sin^2(\frac{\gamma}{2})$ - отдясно получихме формулата за лицето на $S_{ABC}$

$mn.\frac{2.sin(\frac{\gamma}{2}).cos(\frac{\gamma}{2})}{2}=S_{ABC}.sin^2(\frac{\gamma}{2})$ Съкращаваме и получаваме

$S_{ABC}=mn.cotg\frac{\gamma}{2}$

[inveidar]

От формулата за допирателните отсечки към вписаната окръжност, която се учи в 8-ми клас, получаваме
[tex]\begin{array}{|l} \frac{b+c-a}{2} = m \\ \frac{a+c-b}{2} = n \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c-(a-b) = 2m \\ c+(a-b) = 2n \end{array}[/tex].
Умножаваме почленно двете равенства, откъдето [tex]c^2-(a-b)^2=4mn \Leftrightarrow c^2-a^2-b^2+2ab=4mn[/tex]
и от косинусовата теорема
[tex]2ab-2abcos\gamma =4mn \Leftrightarrow \frac{ab}{2}(1-cos\gamma)=mn[/tex].
Остава да умножим двете страни по [tex]sin \gamma[/tex] и след това да разделим на [tex]1-cos \gamma[/tex] (забележете, че и двете числа са различни от 0). Така стигаме до
[tex]S_{ABC}=\frac{ab}{2}sin \gamma =mn\frac{sin \gamma}{1-cos \gamma}[/tex].
Останалото е проста тригонометрия .

[Павел]

Помогнете ми с тази задача че вече ваканцията си отива
В триъгълник ABC ъгъл A = 30 градуса , страната BC е два пъти по - голяма от страната AB , а BD е височината през върха B . Ако лицето на триъгълник BCD = 4 корен от 15 , то да се намери лицето на триъгълник ABC .
Задачата ми трябва чак за четвъртък , но ми помогнете !!

[Павел]

знам че не сте длъжни да ми решавате домашното , но ми помогнете .

[emil3993]

Помогнете ми с тази задача че вече ваканцията си отива
В триъгълник ABC ъгъл A = 30 градуса , страната BC е два пъти по - голяма от страната AB , а BD е височината през върха B . Ако лицето на триъгълник BCD = 4 корен от 15 , то да се намери лицето на триъгълник ABC .
Задачата ми трябва чак за четвъртък , но ми помогнете !!

CB е правоъгълен триъгълник, центърът на описаната около него окръжност лежи върху CB и точката(център) разполовява страната CB на две равни парчета радиуси
CB=2R
DB=x=h
AB=[tex]\frac{CB}{2}[/tex]=R
DC=y
Sbcd = [tex]4\sqrt{15}[/tex]
Sabc=?
триъгълник ADB
[tex]sin \alpha=\frac{x}{R}[/tex]
триъгълник CDB
специална формула за правоъгълен триъгълник лице
[tex]Sbcd=\frac{y*x}{2}=4\sqrt{15}[/tex]
[tex]xy=8\sqrt{15}[/tex]
триъгълник DCB питагорова теорема
[tex]x^2+y^2=R^2[/tex]
триъгълник ABC тригонометрия
[tex]sin \alpha = \frac{x}{R}[/tex]
Система с три неизвестни пак

[Павел]

Да си жив и здрав !

[emil3993]

Благодаря.

[Павел]

може .и да ми кажеш пак системата че го омотах

[emil3993]

може .и да ми кажеш пак системата че го омотах

x, y, R, alpha = 30
[tex]x^2+y^2=R^2[/tex]
[tex]sin \alpha = \frac{x}{R}[/tex]
[tex]xy=8\sqrt{15}[/tex]

[tex]x=\frac{8\sqrt{15}}{y}[/tex]
[tex]R=\frac{x}{sin \alpha}[/tex]

[tex](\frac{8\sqrt{15}}{y})^2+y^2=\frac{x^2}{sin^2 \alpha}[/tex]

[tex](\frac{8\sqrt{15}}{y})^2+y^2=\frac{(\frac{8\sqrt{15}}{y})^2}{sin^2 \alpha}[/tex]