Помощ за медиана и ъглополовяща

[titi0021]

В триъгълника ABC BM е медиана към страната AC (M [tex]\in[/tex] AC) , CL е ъглополовяща на ъгъл ACB (L [tex]\in[/tex] AB), т.P е пресечна точка на BM и CL, а т.К е пресечна точка на AP и BC. Да се докаже, че KL е успоредна на AC.

[123a]

Прилагаме Теоремата на Менелай за [tex]\triangle[/tex]$ALC$ и правата $BM$

$\frac{AB}{LB}.\frac{LP}{PC}.\frac{CN}{AN}=1=>\frac{LP}{PC}=\frac{LB}{AB}(*)$

Отново прилагаме Теоремата на Менелай, но за $\triangle$$LBC$ и правата $AK$

$\frac{AB}{AL}.\frac{LP}{PC}.\frac{CK}{KB}=1$
Заместваме $(*)$ в горното и получаваме $\frac{LB}{AL}=\frac{KB}{KC}$.

И от обратната теорема на Талес, следва че $KL$ е успоредна на $AC$

[Anubis]

По теоремата на Чева имаме [tex]\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1[/tex]. Но [tex]CM=MA[/tex], откъдето

[tex]\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1 \Rightarrow \frac{AL}{LB} = \frac{CK}{KB} \Rightarrow KL||AC[/tex].

[N_Georgiev]

Здравейте имам въпрос към едно доказателство как от формулата mc = 1/2 [tex]\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}[/tex] се доказва c = 2/3 [tex]\sqrt{2ma^2 + 2mb^2 - mc^2}[/tex]. Благодаря предварително!