Равнобедрен триъгълник

[Сашкопетка]

В равнобедрения триъгълник ABC ( AC = BC ) е вписана окръжност , която се допира до AC и BC съответно в точките M и N .
Ако AB = 10 см и AC = 15 см , то намерете разстоянието между точките M и N .

[Davids]

Намираме по Питагорова теорема $h_a = 10\sqrt{2}$, после и $S = \dfrac{ah_a}{2} = 50\sqrt{2} = pr = 20r \Rightarrow r = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Сега от подобието $\triangle ONC \sim \triangle BHC$ изразяваме пропорцията:
$\dfrac{r}{5} = \dfrac{NC}{h}$
$\Rightarrow NC = \dfrac{hr}{5} = 10$
Окончателно от подобието на $\triangle MNC \sim \triangle ABC$ имаме $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{NC}{BC} \Rightarrow MN = \dfrac{10.10}{15} = \dfrac{20}{3}$

[Евва]

2 начин да намерим NC
Нека СН е височина (и медиана) в [tex]\triangle[/tex]АВС ; BN=BH=5 (външно допирателни)
Тогава CN=BC-BN=15-5=10 см.