Равностранен триъгълник

[malkoglupav]

Даден е равностранен [tex]\triangle[/tex]ABC. Точка О е такава вътрешна точка за триъгълника, че AO=3, BO=4, CO=5. Да се намери страната на триъгълника.

[Евва]

[tex]\sqrt{25+12\sqrt{3}}[/tex] [tex]\approx[/tex]6,7 ли е отговора ?

[malkoglupav]

Не знам отговора.

[Davids]

Това получавам и аз, да. Ето кратко разяснение:

Puenktchen.png (31.3 KiB) Прегледано 439 пъти

Подлагаме дадения равностранен триъгълник на ротация с ъгъл $60^{\circ}$ спрямо върха $C$ и получаваме долепен нов равностранен триъгълник (като на чертежа). Вътрешните точки са респективно $D$ и $D'$.
Понеже $\angle ACD = 60^{\circ} - \angle DCB$ и $\angle BCD' = \angle ACD$, то $\angle DCD' = \angle DCB + \angle BCD' = \angle DCB + 60^{\circ} - \angle DCB = 60^{\circ}$. Тоест $\triangle DCD'$ е равностранен и така $DD' = 5$.
Паралелно с това $\triangle BDD'$ е правоъгълен, тъй като страните му образуват питагорова тройка. Следователно имаме дефинирани тригонометричните функции на $\alpha$.
Остана да направим една косинусова теорема за $\triangle BDC$:
$a^2 = 25 + 16 - 2.5.4cos(60 + \alpha)$
$a^2 = 41 - 40(\frac{4 - 3\sqrt{3}}{10})$
$a^2 = 25 + 12\sqrt{3}$
$\Rightarrow \boxed{a = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}}$

[Евва]

Скрит текст: покажи

Извини ме,че се забавих.Бях на гости в моя роден град.

Решението на Davids е по-кратко,а ето моето. Нека AB=a, [tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\beta[/tex] ,прилагаме cos T в [tex]\triangle[/tex]ADC и в [tex]\triangle[/tex]DBC

[tex]\begin{array}{|l} AD^{2}=AC^{2}+DC^{2}-2AC.DC.cos\beta \\ BD^{2}=BC^{2}+DC^{2}-2BC.DC.cos(60^\circ-\beta) \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 3^{2}=a^{2}+5^{2}-2a.5.cos\beta \\ 4^{2}=a^{2}+5^{2}-2a.5.cos(60^\circ -\beta)\end{array}[/tex] ...

cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{a^{2}+16}{10a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\sqrt{1-cos^{2}\beta}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{68a^{2}-a^{4}-256}}{10a}[/tex] ...

[tex]a^{4}[/tex]-50[tex]a^{2}[/tex]+193=0 ...

a=[tex]\sqrt{25+12\sqrt{3}}[/tex]