Правоъгълен триъгълник

[Goshkoneiskadauchi]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC (C=90) с височина CD, която разделя AB на части - AD=2cm, BD=10cm. Намерете S, r, la и mb на триъгълника.

Не изпитвам трудности в намирането на начин на решение, отколкото в изчисляването на ъглополовящата la. Порбвах и с Питагорова теорема, и с формулата за ъглополовяща от учебника на Регалия за 9-ти клас. По който и начин да пробвам не получавам отговора в учебника.

[ptj]

Нeка дължината на височината е [tex]h[/tex].
Имаш [tex]2^2+h^2=a^2[/tex] и [tex]10^2+h^2=b^2[/tex].
Освен това [tex]a^2+b^2=12^2[/tex],
сл. [tex]2h^2+104=144[/tex]
[tex]h=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex]

[tex]a^2=24[/tex]
[tex]a=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]b^2=120[/tex]
[tex]b=2\sqrt{30}[/tex]

Формула за ъглополовящата:
[tex]l_a^2=12.b-\frac{12.b.a^2}{12+b}[/tex]

[tex]l_а^2=12.2\sqrt{30}-\frac{12.24.2\sqrt{30}}{12+2\sqrt{30}}=\frac{11.48.\sqrt{30}}{12+2\sqrt{30}}[/tex]

Рационализираме, като умножаваме числителя и знаменателя на получената дроб с [tex](12-2\sqrt{30})[/tex] :

[tex]l_a^2=\frac{11.48.12\sqrt{30}-11.48.2.30}{144-120}=22(12-\sqrt{30})[/tex]

[Knowledge Greedy]

Отговорът на ptj не може да е верен, защото ъглополовящата [tex]l_c[/tex] излиза на дължина почти колкото хипотенузата.(Не че не съществуват(!) такива триъгълници, но при това съотношение на катетите е непостижимо.)

Ето завършекът на решение, в което Goshkoiskadauchi очакваше да види друг отговор.

Goshkoiskadauchi.png (7.09 KiB) Прегледано 489 пъти

Надявам се, можеш да обясниш, защо в правоъгълен триъгълник ъглополовящата към хипотенузата
се оказва диагонал на квадрата [tex]CKLN[/tex]?
Да разгледаме подобните триъгълници [tex]\triangle LBN[/tex] и [tex]\triangle ALK[/tex]
От подобието следва пропорцията [tex]\frac{LN}{AK}=\frac{BN}{LK}[/tex]
Използваме съществено фактите, постигнати от ptj при означенията от горния чертеж.
[tex]\frac{x}{2\sqrt{6}-x}=\frac{2\sqrt{30}-x}{x}[/tex]
и накрая получаваме [tex]x=\frac{2\sqrt{30}.2\sqrt{6}}{2\sqrt{30}+2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}.[/tex]

Предвид факта [tex]CN=x\sqrt{2}[/tex]
Следва
[tex]l_c=5\sqrt{3}-\sqrt{15} \,\ \approx 4,787[/tex]

_______________
Формулата [tex]l_c^2=ab-mn[/tex]
не е целесъобразно да използваме, т.к. може да настъпи объркване на [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] с дадените отсечки 2 и 10.
_______________
Формулата [tex]l_c=\frac{2ab}{a+b}cos\frac{\gamma}{2}[/tex]
е по-добра, след направеното [tex]\begin{array}{|l} a=2\sqrt{30} \\ b=2\sqrt{6} \end{array}[/tex] от ptj.
В случая [tex]\gamma =90^\circ[/tex] тя става [tex]l_c=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}[/tex]
и напълно заменя моите играчки с подобните триъгълници по-горе.
[tex]l_c=\frac{2\sqrt{30}.2\sqrt{6}\sqrt{2}}{2\sqrt{30}+2\sqrt{6}} \,\ = \frac{4\sqrt{360}}{2\sqrt{6}(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{60}(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2-1}=\sqrt{15}(\sqrt{5}-1)[/tex]

[ptj]

Някой спи -ъглополовящата[tex](l_a)[/tex] не е към хипотенузата.