триъгълник

[IVI]

В равнобедрения тригълник ABC през върха B е построена окръжност, която се допира до основата АС в точка А и пресича страната ВС в точка D, така че AD = 3. Да се намери CD, ако лицата на триъгълниците ADC и ABD се отнасят както 4:5.

[Евва]

Получавам CD=2 .

[S.B.]

Без заглавие (25).png (245.9 KiB) Прегледано 620 пъти

В равнобедрения тригълник ABC през върха B е построена окръжност, която се допира до основата АС в точка А и пресича страната ВС в точка D, така че AD = 3. Да се намери CD, ако лицата на триъгълниците ADC и ABD се отнасят както 4:5.

[tex]\angle CAD = \angle ABC = \frac{д.AD}{2} = \gamma , \angle C = \alpha[/tex] е общ $\Rightarrow \triangle ABC \approx \triangle ACD$ (1-ви признак) $\Rightarrow \triangle ADC$ е равнобедрен и $AC = DA= 3$

$\frac{S_{ABC }}{S_{ACD }} = k^{2}$ ,където $k$ е коефициент на пропорционалност

$ \frac{S_{ADC }}{S_{ABD }} = \frac{4}{5} \Rightarrow S_{ABD } = \frac{5}{4}S_{ACD }$

$S_{ABD } = S_{ABC } - S_{ACD } \Leftrightarrow S_{ABC } - S_{ACD } = \frac{5}{4}S_{ACD } \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{9}{4}S_{ACD } \Rightarrow \frac{S_{ABC }}{S_{ACD }} = \frac{9}{4} = k^{2} ,k = \frac{3}{2}$

От подобността на триъгълниците $\Rightarrow \frac{AC}{CD} = k = \frac{3}{2}, AC = 3 \Rightarrow CD = 2$