задача 25

[Стоянов]

WIN_20200127_16_29_53_Pro.jpg (165.13 KiB) Прегледано 464 пъти

задача 25

[S.B.]

Без заглавие (47).png (259.96 KiB) Прегледано 434 пъти

[tex]\angle ABC = 30^\circ \Rightarrow AC = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} ; AC = AT = \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex] (допирателни от външна точка)
[tex]\triangle TBO \rightarrow \angle OTB = 90^\circ , \angle TBO = 30^\circ \Rightarrow OB = 2.OT , OT = r \Rightarrow OB = 2r , OC = r \Rightarrow CB = 3r[/tex]
$\frac{CB}{AB} = cos30^\circ \Leftrightarrow \frac{3r}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{7}}{2}$
За $\triangle AQB$ прилагам косинусова теорема :
$AQ^{2} = QB^{2} + AB^{2} - 2.QB.AB.cos30^\circ \Leftrightarrow AQ^{2} = \frac{7}{4} + 21 - 2.\frac{\sqrt{7}}{2}.\sqrt{21}.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AQ^{2} = \frac{49}{4} \Rightarrow AQ = \frac{7}{2}$
$AT^{2} = AQ.AP \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{21}}{2})^{2} = \frac{7}{2} .AP \Leftrightarrow \frac{21}{4} = \frac{7}{2}.AP \Rightarrow AP = \frac{3}{2}$
$PQ = AQ - AP \Leftrightarrow PQ = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} \Rightarrow PQ = 2$