Задача от ромб

[Henz]

В ромб ABCD точка M е среда на страната AB и [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex] .Синусът на [tex]\angle DMC[/tex] е равен на?

[martin123456]

нека [tex]AD=2x[/tex]=>[tex]AM=MB=x[/tex]
кос т-ма [tex]\Delta ADM[/tex]: [tex]DM^2=3x^2[/tex]
кос т-ма [tex]\Delta MCB[/tex]: [tex]MC=7x^2[/tex]
кос т-ма [tex]\Delta DMC[/tex]: [tex]3x^2+7x^2-2x^2\sqrt{21}\cos{\angle DMC}=4x^2[/tex]. делим на [tex]x^2[/tex]=>
[tex]6=2\sqrt{21}\cos{\angle DMC}[/tex]=>[tex]\cos{\angle DMC}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{21}=\frac{\sqrt{21}}{7}[/tex]=>[tex]\sin{\angle DMC}=\sqrt{1-\frac{21}{49}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}[/tex]

[Henz]

Благодаря. Аз я решавах по същия начин ама не се сетих да разделя на [tex]x^{2}[/tex]

[emil3993]

Задачата е добра.

[emil3993]

Чудя се дали има друго решение?

[Knowledge Greedy]

Да означим с [tex]a[/tex] страната на ромба и [tex]\angle DMC = \varphi[/tex].

Тангенс или синус.png (3.16 KiB) Прегледано 575 пъти

Чудя се дали има друго решение?

Ромбът е доста забележителен. От условието веднага следва, че той се състои от два равностранни триъгълници.
А щом [tex]\Delta ABD[/tex] е равностранен, то [tex]DM[/tex] е не само негова медиана, но и височина. Следователно тя е
[tex]DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
А от правоъгълния [tex]\Delta CDM \,\ \Rightarrow \,\ tg \varphi = \frac{a}{\frac{a \sqrt {3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
By The Way , а какво търсехме?
[tex]sin \varphi =\frac{2}{\sqrt{7}}[/tex]

[emil3993]

Простите неща винаги са по-усвояващи от мозъка и корема.