косинусова теорема

[moni2003petrova]

В равностранния [tex]\triangle[/tex]ABC е вписан равностранния [tex]\triangle[/tex]DEF така, че D∈BC, E∈AC, F∈AB. Намерете cos∢DEC, ако AB:DF=8:5.

[KOPMOPAH]

Kосинусова теорема-1.png (9.42 KiB) Прегледано 297 пъти

Доколкото няма никакъв линеен размер, без проблем можем да приемем $FD=ED=5$, а $AB=BC=8$.

Ако отбележим $EC$ с $x$ прилагаме косинусова теорема за $\triangle ECD$:$$x^2+(8-x)^2-2x(8-x)\cos 60^\circ=5^2,$$откъдето след преработка получаваме $$x=4 \pm \sqrt 3$$
Тогава $$CD=8-x=4 \mp \sqrt 3.$$Приемаме $EC=4 - \sqrt 3$, $CD=4 + \sqrt 3$ и прилагаме пак косинусова теорема, този път за $\measuredangle DEC$:$$(4 - \sqrt 3)^2+5^2-2.5.\cos \measuredangle DEC=(4 + \sqrt 3)^2$$Преработваме и получаваме:$$ \cos \measuredangle DEC=\frac{4-3\sqrt 3}{10}$$