косинусова теорема

[moni2003petrova]

Вписаната в триъгълника ABC окръжност се допира до стените му AB, BC, AC съответно в точките M, N, P. Намерете страните на триъгълника ABC, ако MN = 3√10, NP = 2√10, PM = 10 см.

[S.B.]

Без заглавие (55).png (294.16 KiB) Прегледано 328 пъти

Вписаната в триъгълника ABC окръжност се допира до стените му AB, BC, AC съответно в точките M, N, P. Намерете страните на триъгълника ABC, ако MN = 3√10, NP = 2√10, PM = 10 см.

Намирам лицето на [tex]\triangle MNP[/tex] по Херонова та формула:
$p = \frac{10 + 5\sqrt{10}}{2} , p - PM = \frac{5\sqrt{10} - 10}{2} , p - MN = \frac{10 - \sqrt{10}}{2} , p - PN = \frac{10 + \sqrt{10}}{2}$
$S_{MNP } = \sqrt{\frac{5\sqrt{10} + 10}{2}.\frac{5\sqrt{10} - 10}{2}.\frac{10 - \sqrt{10}}{2}.\frac{10 + \sqrt{10}}{2}} = \sqrt{\frac{250 - 100}{4}.\frac{100 - 10}{4}} = \frac{15\sqrt{15}}{2}$
$OM = ON = OP = R$ - за $\triangle MNP$ това е радиус на описаната окръжност
$S_{MNP } = \frac{MN.NP.PM}{4R} \Leftrightarrow \frac{15\sqrt{15}}{2} = \frac{10.3\sqrt{10}.2\sqrt{10}}{4R} \Rightarrow R= \frac{4\sqrt{15}}{3}$
Около четириъгълникът $AMOP$ може да се опише окръжност -
$\angle AMO = \angle APO = 90^\circ, \angle MAP= \alpha \Rightarrow \angle MOP = 180^\circ - \alpha$
За $\triangle MOP$ прилагам Косинусова теорема:
$MP^{2} = OM^{2} + OP^{2} - 2.OM.OP.cos(180^\circ - \alpha) \Leftrightarrow MP^{2} = 2R^{2}(1 + cos\alpha) = 4R^{2} cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}$
$ \Leftrightarrow 10^{2} = 4.(\displaystyle\frac{4\sqrt{15}}{3})^{2}cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} \Rightarrow 10 = 8\frac{\sqrt{15}}{3}.cos\frac{\alpha}{2} \Rightarrow cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4},sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4} ,tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{15}}{15}$
От $\triangle АМО \rightarrow \frac{ОМ}{АМ} = tg\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{R}{x} = \frac{\sqrt{15}}{15} \Rightarrow x =R \frac{15}{\sqrt{15}} \Leftrightarrow x =\frac{4\sqrt{15}}{3}.\frac{15}{\sqrt{15}} \Rightarrow x = 20$

Аналогично от $BMON$ се получава $cos \frac{\beta}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{8} ,sin\frac{\beta}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2},tg\frac{\beta}{2} = \frac{\sqrt{15}}{9} ,y = R.\frac{9}{15} = \frac{4\sqrt{15}}{3}.\frac{9}{\sqrt{15}} = 12$
Аналогично от $CPON$ се получава $cos\frac{\gamma}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} , sin\frac{\gamma}{2} = \frac{\sqrt{10}}{4} ,tg\frac{\gamma}{2} = \frac{\sqrt{15}}{3} , z = 4$
$AB = x + y = 20 + 12 = 32 ; BC = y + z = 12 + 4 = 16 ; AC = x + z = 20 + 4 = 24$
$$AB = 32 , BC = 16 , AC = 24$$