Равнобедрен триъгълник и симетрала

[Mrgoot999]

Вчера решавах една пробна матура, която имаше една задача, която не разбрах. Бихте ли ми я обяснили?

В равнобедрен △ABC [tex]\angle[/tex]ACB=40° и симетралата на бедрото AC пресича продължението на основата AB в точка M. На продължението на MC е взета точка N така, че CN=BM (С e между М и N).

А) Намерете големината на [tex]\angle[/tex]MAN в градуси.
Б) Ако BC=12см, намерете разстоянието от C до правата AN в сънтиметри.

Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Равнобедрен триъгълник и симетрала.png (17.47 KiB) Прегледано 3463 пъти

A) Щом като триъгълникът е равнобедрен, значи ъглите при основата са $\varphi = \frac{180^\circ-40^\circ}2=70^\circ$

Триъгълникът $\triangle AMC$ също е равнобедрен, защото т.$M$ лежи на симетралата, а всяка точка от симетралата е равноотдалечена от върховете $A$ и $C$. Излиза, че $\measuredangle ACM=\measuredangle MAC=\varphi=70^\circ \Rightarrow \measuredangle AMC=180^\circ-2\times 70^\circ=40^\circ$.
В $\triangle BMC$ остана неизвестен $\measuredangle BCM$, за който не е трудно да се получи, че е равен на $30^\circ$.
Продължаваме с ъглите - $\measuredangle MBC=180^\circ-70^\circ=110^\circ,\,\measuredangle ACN=180^\circ-70^\circ=110^\circ$. Тогава $\triangle AMC \cong \triangle MBC$ по първи признак и $\measuredangle BMC=\measuredangle ANC=40^\circ$.
От $\triangle ACN$ намираме големината на $\measuredangle \psi=180^\circ-(40^\circ+110^\circ)=30^\circ$, откъдето следва, че търсеният $\measuredangle MAN=100^\circ$.


Б) В $\triangle ACE$ $AC=BC=12$, а $\measuredangle \psi=30^\circ$. Търсеното разстояние се явява катет срещу $30^\circ$, значи е равно на $6$ сAнтиметрa, а не сънтиметра.