Правоъгълен триъгълник

[eggnogi]

Здравейте! Моля помогнете ми със следната задача: периметърът на правоъгълен триъгълник АВС е 72см. Разликата между дължините на медианата СМ и височината СН е 7см. Да се намери хипотенузата.

[Евва]

Нека: АВ=с ,ВС=а ,АС=b ,CH=h ,CM=m .
[tex]\frac{hc}{2}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{ab}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] h=[tex]\frac{ab}{c}[/tex] (1)
m-h=7 ; [tex]\frac{c}{2}[/tex]-h=7 (виж (1)) [tex]\frac{c}{2}[/tex]-[tex]\frac{ab}{c}[/tex]=7 |.2c[tex]\ne[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c^{2}[/tex]-2ab=14c [tex]\Rightarrow[/tex] 2ab=[tex]c^{2}[/tex]-14c (2)

От Питагор имаме [tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=[tex]c^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ([tex]a+b)^{2}[/tex]-2ab=[tex]c^{2}[/tex] (3)
[tex]P_{ABC }[/tex]=72 ; a+b+c=72 (4)

[tex]\begin{array}{|l} 2ab = c^{2}-14c \\ (a+b)^{2}-2ab = c^{2}\\a+b=72-c \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

От първото и третото уравнение заместваме във второто .

[tex](72-c)^{2}[/tex]-([tex]c^{2}[/tex]-14c)=[tex]c^{2}[/tex]

5 184-144c+[tex]c^{2}[/tex]-[tex]c^{2}[/tex]+14c=[tex]c^{2}[/tex]

[tex]c^{2}[/tex]+130c-5 184=0 ( k=65 )
D=4 225+5 184=9 409=[tex]97^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-65\pm97}{1}[/tex]

c=32 см.

Скрит текст: покажи

Интересно е ,че намерихме -с ,без да знаем поотделно-a,b .

[eggnogi]

Много благодаря, Ева!