Да се намери радиуса

[Евва]

Успоредните прави a и b са пресечени от правата c в точките А и В.Да се намери радиуса
на окръжността ,която се допира до a,b,c ,ако допирната точка на правата с с окръжността разделя
отсечката АВ на части ,дължините на които удовлетворяват уравненията
х+у=2 и [tex]x^{4}[/tex]+[tex]у^{4}[/tex]=4 .

[S.B.]

Без заглавие - 2020-05-19T093907.840.png (212.19 KiB) Прегледано 335 пъти

Успоредните прави a и b са пресечени от правата c в точките А и В.Да се намери радиуса
на окръжността ,която се допира до a,b,c ,ако допирната точка на правата с с окръжността разделя
отсечката АВ на части ,дължините на които удовлетворяват уравненията
х+у=2 и [tex]x^{4}[/tex]+[tex]у^{4}[/tex]=4 .

Центърът на окръжността [tex]O[/tex] е пресечна точка на ъглополовящите на вътрешните прилежащите ъгли ъгли получени при при пресичането на две успоредни прави с трета.Тогава $\triangle AOB$ е правоъгълен и $OT$ ,където т.$T$ е допирната точка на правата $c$ с окръжността е височина към хипотенузата $AB$
$OT = r \Rightarrow r^{2} = AT.BT \Leftrightarrow r^{2} = x.y \Rightarrow r = \sqrt{xy}$
$x^{4} + y^{4} = 4 \Leftrightarrow [(x + y)^{2} - 2xy]^{2} - 2(xy)^{2} = 4$
$x + y = 2 , xy = r^{2} $ след заместване се получава :
$r^{4} - 8r^{2} + 6 = 0 $ ,$ r^{2}_{1,2 } = 4 \pm \sqrt{10} ,r >0 \Rightarrow r_{1,2 } = \sqrt{4 \pm \sqrt{10}}$

[S.B.]

Без заглавие - 2020-05-19T141028.960.png (182.13 KiB) Прегледано 312 пъти

Аз получих [tex]r_{1,2 } = \sqrt{4\pm\sqrt{10}}[/tex]
След упътване от страна на Евва на лично съобщение, че отговорът е само един, за което ѝ благодря ,определих,че
$r = \sqrt{4 - \sqrt{10}}$, защото от $\triangle BMA \rightarrow \frac{MB}{AB} = sin\angle MAB < 1$
$ \frac{2\sqrt{4 + \sqrt{10}}}{2} > 1$
$\frac{2\sqrt{4 - \sqrt{10}}}{2} < 1 $
$ \Rightarrow r = \sqrt{4 - \sqrt{10}}$