Намерете лицето на триъгълника.

[Hypermood]

Ъглите алфа, бета, гама на триъгълника ABC се отнасят както 1:9:2. Ако симетралата на страната AB пресича AC в точка D, CD = 3[tex]\sqrt{3}[/tex], то лицето на ABC е?

[S.B.]

Без заглавие (93).png (196.63 KiB) Прегледано 885 пъти

Ъглите алфа, бета, гама на триъгълника ABC се отнасят както 1:9:2. Ако симетралата на страната AB пресича AC в точка D, CD = 3[tex]\sqrt{3}[/tex], то лицето на ABC е?

[tex]\alpha : \beta : \gamma = 1 : 9 : 2 \rightarrow x + 9x + 2x = 180^\circ \Leftrightarrow 12x = 180^\circ \Rightarrow x = 15^\circ[/tex]
$\alpha = 15^\circ ; \beta = 135^\circ ; \gamma = 30^\circ$
$S_{AB }\cap AC = D\Rightarrow D\in S_{AB } \Rightarrow AD = BD \Rightarrow\triangle ABD$ е равнобедрен и $\angle DBA= \angle \alpha = 15^\circ$
$\angle BDC = 30^\circ$ като външен за $\triangle ABD \Rightarrow \triangle DBC$ е равнобедрен
Построявам $BQ\bot DC$ тогава $DQ = QC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
От $\triangle DBQ \rightarrow \displaystyle\frac{BQ}{DQ} = tg30^\circ \Leftrightarrow BQ = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{2} \Rightarrow DB = 3$ (Понеже $BQ$ лежи срещу $30^\circ$)
Но $AD = DB \Rightarrow AD = 3$
Тогава $AC = AD + DC = 3 + 3\sqrt{3} = 3(1 + \sqrt{3})$
$S_{ABC } = \frac{AC.BQ}{2} = \frac{3(1 + \sqrt{3})}{2}.\frac{3}{2} = \frac{9(1 + \sqrt{3})}{4}$