Намерете страните и лицето на АВС

[Гост]

Намерете страните и лицето на АВС, ако АВ = 12см, α = 75 градуса и γ = 60 градуса.

[peyo]

Намерете страните и лицето на АВС, ако АВ = 12см, α = 75 градуса и γ = 60 градуса.

[S.B.]

Намерете страните и лицето на АВС, ако АВ = 12см, α = 75 градуса и γ = 60 градуса.

Без заглавие - 2020-07-14T102602.259.png (184.41 KiB) Прегледано 353 пъти

Предлагам малко по-различен начин за решаване на тази задача

[tex]\angle \alpha = 75^\circ , \angle \gamma = 60^\circ \Rightarrow \angle \beta = 45^\circ[/tex]
$sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin\gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}$
За да се реши задачата и да се намерят страните и лицето на $\triangle ABC$ е необходимо да се намери $sin \alpha = sin75^\circ$:
$sin75^\circ = sin(30^\circ + 45^\circ) = sin30^\circ.cos45^\circ + sin45^\circ.cos30^\circ = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3})$
Сега може да се приложи Синусова теорема:
$\displaystyle\frac{AB}{sin60^\circ} = \displaystyle\frac{AC}{sin45^\circ} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{12}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}} = \displaystyle\frac{b}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow b = AC = 4\sqrt{6}$
$\displaystyle\frac{BC}{sin75^\circ} = \displaystyle \frac{AC}{sin45^\circ} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4}} = \displaystyle\frac{4\sqrt{6}}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow BC = a = 2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)$
$S_{ABC } = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\alpha \Leftrightarrow \frac{1}{2}.12.4\sqrt{6}.\frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) = 12\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})$

[KOPMOPAH]

Според мен трябва да се използва формулата за лице на триъгълник по една страна и три ъгъла:$$S=\frac{AB^2\sin(\measuredangle BAC)\sin(\measuredangle ABC)}{2\sin(\measuredangle ACB)}=\frac{12^2\sin 75^\circ\sin 45^\circ}{2\sin 60^\circ}$$Всичко е известно, трябва само да се намери $\sin 75^\circ$, както е посочено по-горе.

В случай, че тази формула вече не се изучава (като се има предвид нивото на сегашното образование), може лесно да се изведе с помощта на синусова теорема.