Съотношение на лица

[ervin]

Точките М и N са средите съответно на страните CD и AD на успоредника ABCD. Правите АМ и BN се пресичат в т.Р. Каква част от лицето на АBCD е лицето на триъгълника ANP? Отг. [tex]\frac{1}{ 20}[/tex]

[Hena]

Означаваме страните [tex]AB=a,AD=b[/tex].Нека [tex]BP \cap CD=K[/tex].

Така [tex]\Delta KND \approx \Delta BNA \Rightarrow \frac{KD}{AB}=\frac{ND}{AN} \Rightarrow \fbox{KD=a}[/tex].Сега от Менелай за [tex]\Delta ADM[/tex] и правата

[tex]NP \Rightarrow \frac{MK}{KD}.\frac{DN}{NA}.\frac{AP}{PM}=1 \Rightarrow \fbox{\frac{AP}{PM}=\frac{2}{3}}[/tex]

[tex]S_{AMD}=\frac{1}{4}.S_{ABCD} \Rightarrow S_{APD}=\frac{2}{5}.S_{ADM}=\frac{1}{10}.S_{ABCD} \Rightarrow S_{ANP}=\frac{1}{2}.S_{APD}=\frac{1}{20}.S_{ABCD}[/tex]

[skadevil]

Означаваме страните [tex]AB=a,AD=b[/tex].Нека [tex]BP \cap CD=K[/tex].

Така [tex]\Delta KND \approx \Delta BNA \Rightarrow \frac{KD}{AB}=\frac{ND}{AN} \Rightarrow \fbox{KD=a}[/tex].Сега от Менелай за [tex]\Delta ADM[/tex] и правата

[tex]NP \Rightarrow \frac{MK}{KD}.\frac{DN}{NA}.\frac{AP}{PM}=1 \Rightarrow \fbox{\frac{AP}{PM}=\frac{2}{3}}[/tex]

[tex]S_{AMD}=\frac{1}{4}.S_{ABCD} \Rightarrow S_{APD}=\frac{2}{5}.S_{ADM}=\frac{1}{10}.S_{ABCD} \Rightarrow S_{ANP}=\frac{1}{2}.S_{APD}=\frac{1}{20}.S_{ABCD}[/tex]

Накрая не мога да разбера как така изразяваш лицата

[Гост]

И цели 10 години ли се чуди как се изразяват тези лица?

[Евва]

Реших я чрез допълнителни построения и получих отговора .
При първа възможност ще пратя решението си .

[Евва]

[tex]\frac{S_{APN }}{S_{ABCD }}[/tex]=?
Нека правата АР пресича правата ВС в т.Е ,а правата ВР пресича правата CD в F.
[tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MCE (2 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] (1) AD=CE=b , (2) [tex]S_{AMD }[/tex]=[tex]S_{MCE }[/tex]

[tex]\triangle[/tex]BEP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]APN (1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{BEP }}{S_{APN }}[/tex]=[tex]\frac{BE^{2}}{AN^{2}}[/tex]=[tex]\frac{4b^{2}}{\frac{b^{2}}{4}}[/tex]=16 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{BEP }[/tex]=16[tex]S_{APN }[/tex] (3)

[tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]NDF (2 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] AB=DF=a [tex]\Rightarrow[/tex] MF=[tex]\frac{3a}{2}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PMF (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{MF}[/tex]=[tex]\frac{PP_{1 }}{PP_{2 }}[/tex] [ P[tex]P_{1 }[/tex] ,P[tex]P_{2 }[/tex] са височини в [tex]\triangle[/tex]ABP и [tex]\triangle[/tex]PMF ]
[tex]\frac{a}{\frac{3a}{2}}[/tex]=[tex]\frac{PP_{1 }}{PP_{2 }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] P[tex]P_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex]P[tex]P_{1 }[/tex] знаем,че [tex]P_{1 }[/tex][tex]P_{2 }[/tex]=P[tex]P_{1 }[/tex]+P[tex]P_{2 }[/tex] ; [tex]P_{1 }[/tex][tex]P_{2 }[/tex]=P[tex]P_{1 }[/tex]+[tex]\frac{3}{2}[/tex]P[tex]P_{1 }[/tex] ; P[tex]P_{1 }[/tex]=[tex]\frac{2}{5}[/tex][tex]P_{1 }[/tex][tex]P_{2 }[/tex]
Тогава [tex]S_{ABP }[/tex]=[tex]\frac{AB.PP_{1 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\frac{2}{5}[/tex][tex]P_{1 }[/tex][tex]P_{2 }[/tex]=[tex]\frac{S_{ABCD }}{5}[/tex] (4)

Скрит текст: покажи

Всичко дотук бе подготовка.

[tex]S_{ABE }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex] ( виж (2) )
[tex]S_{ABP }[/tex]+[tex]S_{BEP }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex]( виж (3) и (4) )
[tex]\frac{S_{ABCD }}{5}[/tex]+16[tex]S_{APN }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex]
16[tex]S_{APN }[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex][tex]S_{ABCD }[/tex]

[tex]\frac{S_{APN }}{S_{ABCD }}[/tex]=[tex]\frac{1}{20}[/tex]