Разстояние между медицентър и център на вписана окръжност

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник с катето 9 и 12 и се търси разстоянието между медицентъра и центъра на вписаната окръжност. Аз намерих хипотенузата = 15 и радиуса на вписаната окръжност = 3 и зацепих. Ще се радвам ако някой ми помогне!

[Евва]

[tex]\frac{\sqrt{85}}{10}[/tex] ли е отговора ?

[Гост]

Не, отговорът е 1.

[Евва]

Намерих си грешката .Посочения отговор е верен .
Използвах допълнителни построения .

[Гост]

Какво по точно си направил?

[Davids]

Съжалявам, ако отнемам удоволствието на колежакта @Евва, но ще напраскам едно решение набързо.

Triangle.png (15.96 KiB) Прегледано 1627 пъти

С червено е отбелязано търсеното разстояние. Започваме с разсъждения и сметки:

1) Правилно си намерил/а по питагорова теорема, че хипотенузата е 15.

2) Лесно се намира също и радиуса на вписаната окръжност $r = OP = 3$.

3) По двете формули за лице ще намерим височината към хипотенузата:
$S_{ABC} = \frac{ab}{2} = \frac{ch}{2} \Rightarrow h = \frac{ab}{c} = \frac{108}{15}$

4) Точката $G$ ще е медицентърът на триъгълника, лежащ върху медианата $m_c = CM$. Тогава от свойството му да разделя медианата в отношение $2:1$, считано от върха, знаем, че $\frac{GN}{h} = \frac{1}{3}$ (поради подобието $\triangle MNG \sim \triangle MHC$). Тогава $GN = \frac{36}{15}$.

5) Намерихме единия катет в $\triangle GEO$: $\boxed{EO = OP - EP = OP - GN = 3 - \frac{36}{15} = \frac{3}{5}}$. Остана другият и си решаваме задачата...

6) От това, че $OP$ е радиус на вписаната окръжност, директно имаме, че $AP = 9$, $BP = 6$.
Паралелно с това имаме $AM = BM = \frac{15}{2}$.
Също и от метрични зависимости в правоъгълен триъгълник лесно намираме $a' = BH = \frac{81}{15}$, съответно $b' = AH = \frac{144}{15}$.

7) Взимайки всичко от 6) предвид, изчисляваме:
$MH = AH - AM = \frac{144}{15} - \frac{15}{2} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}$

Тогава $MN = \frac{1}{3}MH = \frac{7}{10}$

8) Сега вече можем да намерим ключовия друг катете: $\boxed{GE = NP = AP - AM - MN = 9 - \frac{15}{2} - \frac{7}{10} = \frac{4}{5}}$

9) И окончателно виждаме питагоровата тройка $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5} = 1)$ (или прилагаме питагорова теорема), с което намираме заветния отговор: $\boxed{GO = 1}$

Надявам се да беше достатъчно ясно и да разбра как се решават такива задачи... и да не те е страх, да не зацикляш.

[Гост]

Много благодаря за подробното решение, но не мога да разбера как на 6) от ОР че е радиус намери така АР и ВР

[Davids]

Много благодаря за подробното решение, но не мога да разбера как на 6) от ОР че е радиус намери така АР и ВР

Разгледай частите от страните на триъгълника като допирателни към вписаната му окръжност. Спомняш ли си свойствата? Отбележи също и правия ъгъл С, там не се ли получава квадрат с радиуса като го спуснеш към катетите?

[Гост]

Охх аз те питах не защото не знам как става а защото им бях разменим местата за мен AP е равна на 6 а BP е равна на 9 ама сега осъзнавам че просто за теб АС е 12 а ВС е 9 ..... извинявай за тъпия въпрос и отново много благодаря за подробното решение такива хора ме мотивират да продължа да се занимавам с математика ❤