Височина с две ъглополовящи

[Гост]

В [tex]\triangle АВС[/tex] е построена височината СD и ъглополовящите на [tex]\angle АBD[/tex] и [tex]\angle СВD[/tex] пресичат АС в точките Е и F. [tex]\frac{AE}{ED}[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex], DF = 10 см, а FC = 26 см. Да се намери периметъра на АВС? Та аз използвах два пъти свойството на ъглополовящата за триъгълниците АВD и ВDC и ще се радвам, ако някой успее да довърши задачата

[Гост]

В [tex]\triangle АВС[/tex] е построена височината СD и ъглополовящите на [tex]\angle АBD[/tex] и [tex]\angle СВD[/tex] пресичат АС в точките Е и F. [tex]\frac{AE}{ED}[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex], DF = 10 см, а FC = 26 см. Да се намери периметъра на АВС? Та аз използвах два пъти свойството на ъглополовящата за триъгълниците АВD и ВDC и ще се радвам, ако някой успее да довърши задачата

Ако $CD\bot AB \rightarrow \angle ABD $ не съществува

[Гост]

Извинявам се за грешката височината е BD, а не CD!

[S.B.]

В [tex]\triangle АВС[/tex] е построена височината СD и ъглополовящите на [tex]\angle АBD[/tex] и [tex]\angle СВD[/tex] пресичат АС в точките Е и F. [tex]\frac{AE}{ED}[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex], DF = 10 см, а FC = 26 см. Да се намери периметъра на АВС? Та аз използвах два пъти свойството на ъглополовящата за триъгълниците АВD и ВDC и ще се радвам, ако някой успее да довърши задачата

Има две грешки в условието:
1) Не [tex]CD \bot AB[/tex] , а $BD\bot AB$, в противен случай $\angle ABD$ става безмислен;
2) $\frac{AE}{ED} = \frac{5}{3}$ , а не $\frac{AE}{ED} = \frac{3}{5}$, защото $AB > BD$ като хипотенуза в правоъгълния $\triangle ADB$

Без заглавие - 2020-08-12T175912.719.png (332.39 KiB) Прегледано 339 пъти

Ако една точка принадлежи на ъглополовящата на даден ъгъл,то тя е на равни разстояния от раменете му

$EM \bot AB , EM = ED$ (защото т.$E$ принадлежи на ъглополовящата на $\angle ABD$)
$FN \bot BC , FN = DF$ ( защото т.$F$ принадлежи на ъглополовящата на $\angle CBD$)
$\triangle BDF \cong\triangle BNF$ по катет и хипотенуза $\Rightarrow BN = BD = h$

$\triangle FCN $ е правоъгълен и по Питагор $\rightarrow NC = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} \Rightarrow NC = 24$
$\frac{BC}{BD} = \frac{FC}{FD} \Leftrightarrow \frac{h + 24}{h} = \frac{26}{10} \Rightarrow h = 15$

$BC = BN + NC = 15 + 24 = 39$

$\triangle BME \cong \triangle BDE$ ( по катет и хипотенуза) $\Rightarrow MB = DB = h$
$\frac{AE}{ED} = \frac{5}{3} \Rightarrow AE = 5x , ED = 3x ,EM = 3x \Rightarrow AM = 4x$ (защото $\triangle AEM$ е правоъгълен)
$\frac{AB}{BD} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{h + AM}{BD} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{15 + 4x}{15} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = 2,5$

$AB = 15 + 10 = 25 , AD = 8x = 20 $

$P_{ABC } = AB + BC + AC = 25 + 39 + 20 + 36 = 120$