Изразяване на страни

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = ВС) като ъгълът при основата е [tex]\alpha[/tex]. Да се изразят бедрото и основата, ако са дадени:
А) p (полупериметър) и [tex]\alpha[/tex]
Б) R и [tex]\alpha[/tex]
В) r и [tex]\alpha[/tex]
Да се реши със знания до 9ти клас, ако някой успее! Благодаря предварително!

[Гост]

За б) построявам диаметъра на окръжността аз съм означил диаметрално противоположната на В точка да е А1. Разглеждам А1ВС в този триъгълник [tex]sin\alpha = \frac{BC}{A1B} \Rightarrow BC = A1B×sin\alpha = 2R×sin\alpha[/tex]. После построявам СН [tex]\bot[/tex] АВ. [tex]\angle BAC = \angle BA1C = \alpha[/tex], защото са вписани ъгли. Разглеждам [tex]\triangle АНС:[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{AH}{AC}\Rightarrow AH = AC×cos\alpha = 2R×sin\alpha×cos\alpha[/tex]. И вече нататък е ясно АВ = 2×АН = [tex]4R×sin\alpha×cos\alpha[/tex]

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = ВС) като ъгълът при основата е [tex]\alpha[/tex]. Да се изразят бедрото и основата, ако са дадени:
А) p (полупериметър) и [tex]\alpha[/tex]
Б) R и [tex]\alpha[/tex]
В) r и [tex]\alpha[/tex]
Да се реши със знания до 9ти клас, ако някой успее! Благодаря предварително!

Без заглавие - 2020-08-20T214349.599.png (376.97 KiB) Прегледано 906 пъти

А)
От$ \triangle AHC\rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{a}{2}}{b} cos\alpha\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{2b} = cos\alpha \Rightarrow a = 2bcos\alpha$

[tex]p = \frac{a}{2} + b \Rightarrow \frac{a}{2} = p - b \Leftrightarrow a = 2p - 2b[/tex]
От $\begin{array}{|l} a = 2p - 2b \\ a = 2bcos\alpha\end{array} \Rightarrow 2p - 2b = 2bcos\alpha \Leftrightarrow p = b(1 + cos\alpha) \Rightarrow $
$ b = \frac{p}{1 + cos\alpha}$
$ a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = \frac{2pcos\alpha}{1 + cos\alpha}$

Б)
$CC_{1 }$ е диаметър $\triangle CC_{1 }B$ е правоъгълен ,$\angle CC_{1 }B = \angle CAB = \alpha$ защото се измерват с една и съща дъга ,$\Rightarrow \frac{CB}{CC_{1 }} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{b}{2R} = sin\alpha \Rightarrow b = 2Rsin\alpha$
$a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = 4Rsin\alpha cos\alpha$

В)

$CH = h , OH = OT = r , CO = h - r$
От $\triangle OTC \rightarrow \frac{r}{h - r} = cos\alpha \Leftrightarrow r = (h - r) cos\alpha \Rightarrow r(1 + cos\alpha) = hcos\alpha$
От $\triangle CHB \rightarrow \frac{h}{b} = sin\alpha \Rightarrow h = bsin\alpha$
$\begin{array}{|l} r(1 + cos\alpha) = hcos\alpha \\ h = bsin\alpha \end{array} \Leftrightarrow r(1 +cos\alpha) = bsin\alpha cos\alpha$
$\Rightarrow b = \frac{r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha}$
$a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = \frac{2rcos\alpha(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha} = \frac{2r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha}$

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = ВС) като ъгълът при основата е [tex]\alpha[/tex]. Да се изразят бедрото и основата, ако са дадени:
А) p (полупериметър) и [tex]\alpha[/tex]
Б) R и [tex]\alpha[/tex]
В) r и [tex]\alpha[/tex]
Да се реши със знания до 9ти клас, ако някой успее! Благодаря предварително!

Без заглавие - 2020-08-20T214349.599.png

А)
От$ \triangle AHC\rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{a}{2}}{b} cos\alpha\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{2b} = cos\alpha \Rightarrow a = 2bcos\alpha$

[tex]p = \frac{a}{2} + b \Rightarrow \frac{a}{2} = p - b \Leftrightarrow a = 2p - 2b[/tex]
От $\begin{array}{|l} a = 2p - 2b \\ a = 2bcos\alpha\end{array} \Rightarrow 2p - 2b = 2bcos\alpha \Leftrightarrow p = b(1 + cos\alpha) \Rightarrow $
$ b = \frac{p}{1 + cos\alpha}$
$ a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = \frac{2pcos\alpha}{1 + cos\alpha}$

Б)
$CC_{1 }$ е диаметър $\triangle CC_{1 }B$ е правоъгълен ,$\angle CC_{1 }B = \angle CAB = \alpha$ защото се измерват с една и съща дъга ,$\Rightarrow \frac{CB}{CC_{1 }} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{b}{2R} = sin\alpha \Rightarrow b = 2Rsin\alpha$
$a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = 4Rsin\alpha cos\alpha$

В)

$CH = h , OH = OT = r , CO = h - r$
От $\triangle OTC \rightarrow \frac{r}{h - r} = cos\alpha \Leftrightarrow r = (h - r) cos\alpha \Rightarrow r(1 + cos\alpha) = hcos\alpha$
От $\triangle CHB \rightarrow \frac{h}{b} = sin\alpha \Rightarrow h = bsin\alpha$
$\begin{array}{|l} r(1 + cos\alpha) = hcos\alpha \\ h = bsin\alpha \end{array} \Leftrightarrow r(1 +cos\alpha) = bsin\alpha cos\alpha$
$\Rightarrow b = \frac{r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha}$
$a = 2bcos\alpha \Rightarrow a = \frac{2rcos\alpha(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha} = \frac{2r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha}$

Отговорите на в) са [tex]r\frac{cotg\frac{\alpha}{2}}{cos\alpha}[/tex] и [tex]2rcotg\frac{\alpha}{2}[/tex]. Може би са еквивалентни на вашите. На моя чертеж симетрелите се пресичат вън от триъгълника , защото ъгълът при върха ми е тъп. И тогава CO [tex]\ne[/tex] CH-OH , а е равно на CH+OH.

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = ВС) като ъгълът при основата е [tex]\alpha[/tex].......

Да се реши със знания до 9ти клас, ако някой успее! Благодаря предварително!

Да започнем с желанието на питащия задачата да се реши със знанията за 9 клас.
В 9 клас все още не са изучавани формулите за половинка ъгли и удвоен ъгъл,а именно:$$cos^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2} , sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}$$
за това съм спряла до тук.
Получила съм [tex]b = \frac{r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha.cos\alpha} = \frac{2rcos^{2}\frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}.cos\alpha} = \frac{rcotg\frac{\alpha}{2}}{cos\alpha}[/tex]
$a = \frac{2r(1 + cos\alpha)}{sin\alpha} = \frac{4rcos^{2}\frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}} = 2rcotg\frac{\alpha}{2}$
А колкото до това,че вие сте избрали тъпоъгълния триъгълник - въпрос на вкус!Когато е казано просто "равнобедрен триъгълник" се използва остроъгълен триъгълник.А вие можеше да се спрете и на друг частен случай - правоъгълен триъгълник ...И още нещо - не съм видяла Вашия чертеж,но искам да Ви обърна внимание,че във В) става въпрос за вписана окръжност, а нейният център лежи на пресечната точка на ЪГЛОПОЛОВЯЩИТЕ , а не на СИМЕТРАЛИТЕ.

[Меди]

И още нещо - не съм видяла Вашия чертеж,но искам да Ви обърна внимание,че във В) става въпрос за вписана окръжност, а нейният център лежи на пресечната точка на ЪГЛОПОЛОВЯЩИТЕ, която е винаги вътре в триъгълника, а не на СИМЕТРАЛИТЕ.

Сиреч центърът на вписаната в триъгълник окръжност НЕ може да бъде външна за него точка.