Лице на триъгълник

[ervin]

Голямата основа на равнобедрен трапец е 15см, а бедрото му е 13см. Правите, съединяващи средата К на тази основа с краищата на другата основа, пресичат диагоналите на трапеца в точки М и N така, че МN=3см. Да се намери лицето на ?KMN. Отг. 10,8см

[martin123456]

[tex]AB=a=15[/tex], [tex]CD=b[/tex].
[tex]AB||CD \Rightarrow \Delta DNC \sim \Delta BNK \Rightarrow \frac{CN}{NK}=\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a}[/tex]. аналогично [tex]\frac{CM}{MA}=\frac{2b}{a}[/tex].
сега гледайки [tex]\Delta ACK \Rightarrow MN||AB \Rightarrow \frac{2MN}{AB}=\frac{MC}{AC}=\frac{MC}{MC+AM}=\frac{2bx}{2bx+ax}=\frac{2b}{2b+a} \Rightarrow MN=\frac{ab}{2b+a}=3[/tex][tex]\Rightarrow \frac{15b}{2b+15}=3 \Rightarrow 15b=6b+45 \Rightarrow b=5[/tex].
от [tex]MN||CD \Rightarrow S_{MNK}=S_{DKC}.(\frac{MN}{CD})^2=S_{DKC}.\frac{9}{25}=\frac{5.9h}{2.25}=\frac{9h}{10}[/tex], където [tex]h[/tex] е височината на трапеца.
нея намираме по питагор: спускаме 2те височини от [tex]C,D[/tex] към основата и от това че имаме равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow AH=\frac{a-b}{2}=\frac{15-5}{2}=5[/tex], където [tex]DH \bot AB[/tex] [tex]\Rightarrow h=\sqrt{13^2-5^2}=12 \Rightarrow S_{MNK}=\frac{9.12}{10}=\frac{108}{10}=10.8[/tex]