Медиани в триъгълник

[Гост]

Докажете, че ако в триъгълник [tex]a>b>c , то m_{a }< m_{b }<m_{c }[/tex].

[Гост]

[tex]m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}[/tex]
[tex]m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}[/tex]
[tex]m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow m_b^2-m_a^2=\frac{1}{4}(a^2-b^2)>0 \Rightarrow m_b>m_a[/tex]
[tex]\Rightarrow m_c^2-m_b^2=\frac{1}{4}(b^2-c^2)>0 \Rightarrow m_c>m_b[/tex]

[S.B.]

Докажете, че ако в триъгълник [tex]a>b>c , то m_{a }< m_{b }<m_{c }[/tex].

Без заглавие - 2021-01-31T184104.369.png (355.15 KiB) Прегледано 391 пъти

Едно решение за по-малките ученици - седмокласниците

Дадено е,че за $\triangle ABC$ където $AB = c ,AC = b , BC = a$ е изпълнено $$ a > b > c $$

Продължавам медианата [tex]AM[/tex] до точка $A_{1 }$ така,че $MA_{1 } = MA = m_{a }$
$\triangle AMC \cong \triangle BMA_{1 } $ ( първи признак)
$1) BM = MC ( = \frac{1}{2} BC$
$2) AM = MA_{1 }$
$\angle AMC = BMA_{1 }$ ( като връхни)
$ \Rightarrow BA_{1 } = AC = b$
За $\triangle ABA_{1 } \rightarrow AA_{1 } < AB + BA_{1 } \Leftrightarrow 2m_{a } < c + b$

Аналогично с продължаване на медианата $BN$ така,че $BN = NB_{1 } = m_{b }$ получаваме, че $AB_{1 } = BC = a$
От $\triangle ABB_{1 } \rightarrow BB_{1 } < AB + AB_{1 } \Leftrightarrow 2m_{b } < c + a$

Аналогично след продължаване на медианата $CP$ така,че $CP = PC_{1 } = m_{c }$ получаваме, че $BC_{1 } = b$
За $\triangle CC_{1 }B \rightarrow CC_{1 } < CB + BC_{1 } \Leftrightarrow 2m_{c } < a + b$
Почленно
от $2m_{a } < b + c$ изваждам $2m_{b } < a + c$
И получавам $2(m_{a } - m_{b }) < b - a $
$b < a \Rightarrow b - a < 0 \Rightarrow m_{a } - m_{b } < 0 \Rightarrow m_{b } > m_{a }$

Аналогично почленно от $2m_{b } < a + c $ изваждам $ 2m_{c } < a + b$ и получавам:
$2(m_{b } - m_{c } )< c - b < 0 \Rightarrow m_{b } - m_{c } < 0 \Rightarrow m_{b } < m_{c }$
$$m_{a } < m_{b } < m_{c }$$