Ъглополовяща

[Гост]

Отсечката АР е ъглополовяща в триъгълник АВС. ВР = 16, СР = 20, а центърът на окръжността, описана около триъгълник АВР лежи върху отсечката АС. Да се намери АВ? Приложих косинусова теорема в триъгълниците, разделени от ъглополовящата, изразих всичко чрез една единична отсечка х и накрая получих х=х. Моля за решение!

[Nathi123]

Нека к( О,R) -описаната около [tex]\triangle ABP[/tex] окръжност ; [tex]\angle CAP = BAP=\frac{\alpha}{2}; O\in AC; AO=OB=OP = R \Rightarrow[/tex]
[tex]\angle OAB=\angle ABO=\alpha ; \angle AOB = 180^\circ -2\beta ; \angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB = 90^\circ - \alpha ; \angle APB[/tex] вписан в к и
[tex]\angle AOB[/tex] e съответният му централен ъгъл.
За [tex]\triangle AOP OP=OA=R \Rightarrow \angle OAP=\angle OPA = \frac{\alpha}{2}[/tex] . По условие [tex]\angle BAP =\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle BAP = \angle OPA[/tex] и са кръстни ъгли за АВ и ОР пресечени с АР [tex]\Rightarrow OP||AB\Rightarrow \frac{OP}{AB}=\frac{CP}{BC} ; BC = 20+ 16 = 36 ;OP=R\Rightarrow \frac{R}{AB}=\frac{5}{6}\Leftrightarrow R=AB.\frac{5}{6}[/tex]
[tex]\frac{AB}{sin(90^\circ - \alpha)}=2R\Leftrightarrow cos\alpha= \frac{3}{5}[/tex] (от син т-ма за триъг.ABP и [tex]sin(90^\circ - \alpha) = cos \alpha)[/tex]
[tex]\frac{AB}{sin( 90^\circ-\alpha)}=\frac{BP}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex](от син т-ма за триъг.ABP )
[tex]2sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-cos\alpha \Rightarrow sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5}\Rightarrow AB=\frac{16.cos\alpha}{sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{48\sqrt{5}}{5}[/tex].

[Гост]

(на 7 ред ) Не трябва ли [tex]\frac{R}{AB}[/tex]=[tex]\frac{5}{9}[/tex] ?

[Nathi123]

Да [tex]\frac{R}{AB}=\frac{5}{9}\Rightarrow cos\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2\sqrt{5}}; AB=\frac{144\sqrt{5}}{5}[/tex].

[S.B.]

Отсечката АР е ъглополовяща в триъгълник АВС. ВР = 16, СР = 20, а центърът на окръжността, описана около триъгълник АВР лежи върху отсечката АС. Да се намери АВ?

Без заглавие - 2021-02-12T110159.193.png (313.27 KiB) Прегледано 398 пъти

И още един поглед върху задачата

Окръжност $k$ описана около $\triangle APB$
[tex]O\in AC , k(O,R) \cap AC = M ,OA = OP = OM = R[/tex]
$\angle MOP = \overset{\displaystyle\frown}{MP} , \angle BAC = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{MB}}{2} = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{MP} + \overset{\displaystyle\frown}{PB}}{2} $
Но $\overset{\displaystyle\frown}{MP} = \overset{\displaystyle\frown}{PB}$ защото $AP$ е ъглополовяща на $\angle CAB \Rightarrow \angle BAC = \overset{\displaystyle\frown}{MP} \Rightarrow \angle MOP = \angle CAB = \alpha$
$ \Rightarrow OP|| AB$ защото при пресичането с $AC$ се получават равни съответни ъгли
$\Rightarrow \triangle OPC \approx \triangle ABC \Rightarrow \frac{OP}{AB} = \frac{CP}{CB} \Leftrightarrow \frac{R}{AB} = \frac{20}{36} \Rightarrow AB = \frac{9}{5}R$
От $\triangle ABM \rightarrow \angle AMB = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AB}}{2} = 90^\circ - \alpha$
От $\triangle ABP \rightarrow \angle APB = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AB}}{2} = 90^\circ - \alpha$
За $\triangle ABP$ прилагам Синусова теорема:
$\frac{AB}{sin(90 - \alpha)} = 2R \Leftrightarrow \frac{AB}{cos\alpha} = 2R \Leftrightarrow \frac{AB}{2R} = cos\alpha$
Но $AB = \frac{9}{5}R \Rightarrow cos\alpha = \frac{9}{10}$
Разглеждам $\triangle OMP \rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{MP} = \overset{\displaystyle\frown}{BP} \Rightarrow MP = BP = 16$
За $\triangle OPM$ прилагам Косинусова теорема :
$16^{2} = 2R^{2}(1 - cos\alpha) \Leftrightarrow 16^{2} = 2R^{2}(1 - \frac{9}{10}) \Rightarrow 5.16^{2} = R^{2} \Rightarrow R = 16\sqrt{5}$
$AB = \frac{9}{5}R \Rightarrow AB = \frac{144\sqrt{5}}{5}$