Център на вписана окръжност

[Гост]

Точката I е центърът на вписаната в триъгълника АВС окръжност със страни a, b и c. Да се докаже, че [tex]a×AI^{2} + b×BI^{2} + c×CI^{2}[/tex] = [tex]a×b×c[/tex]. Тотално зацепих.....
.

[Добромир Глухаров]

$AI=\frac{r}{sin\frac{\alpha}{2}};\ BI=\frac{r}{sin\frac{\beta}{2}};\ CI=\frac{r}{sin\frac{\gamma}{2}}$

$a=2Rsin\alpha;\ b=2Rsin\beta;\ c=2Rsin\gamma$

$aAI^2+bBI^2+cCI^2=\cdots=4Rr^2\left(cotg\frac{\alpha}{2}+cotg\frac{\beta}{2}+cotg\frac{\gamma}{2}\right)=4Rr^2\cdot\frac{p}{r}=4RS=abc$

Като се използват: $S=pr=\frac{abc}{4R}$