Триъгълник

[Гост]

Даден е ABC за който ъгъл CAB + ъгъл CBA = 90. Ако BC=16/3 см и cos ъгъл ABC = 8/17, да се намери лицето на триъгълника.

[mail_dinko]

Лесно разбираме, че това е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха С.
[tex]cos \beta = \frac {8}{17} = \frac {a}{c} \Rightarrow c = \frac {a}{cos \beta} = \frac {16}{3} . \frac {17}{8} = \frac {34}{3}[/tex]
[tex]sin \beta = \sqrt { 1 - cos^2 \beta } = \sqrt {\frac {289-64}{289}} \Rightarrow \sin \beta = \frac {5}{17}[/tex]
[tex]cos \beta = \frac {a}{c} \Rightarrow a = c cos \beta[/tex]
[tex]sin \beta = \frac {b}{c} \Rightarrow b = c sin \beta[/tex]
[tex]S \triangle = \frac {ab}{2} = \frac {c^2 cos \beta sin \beta}{2}= \frac {\cancel {34.}34.8.5}{ \cancel {17.}17.3.3 \cancel {.2}}[/tex]
[tex]S \triangle = \frac {80}{9}[/tex]

[Гост]

[tex]cos \beta= \frac{a}{c}=\frac{8}{17}[/tex]
Нека [tex]a=8x \Rightarrow c=17x[/tex] и от Питагоровата теорема [tex]\Rightarrow b=\sqrt{(17x)^2-(8x)^2}=15x[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{a.b}{2}=60x^2[/tex]
сега се връщаме в условието [tex]BC=a=8x=\frac{16}{3} \Rightarrow x=\frac{2}{3} \Rightarrow S_{ABC}=\frac{80}{3}[/tex]