Вписан триъгълник

[Гост]

В окръжност е вписан ABC със страни AB=12, AC=9. Ъглополовящата на ъгъл А пресича BC в точка L, а окръжността - в точка М, като AL=4корен от6, LM=корен от 6/2. Намерете дължината на BC.

[mail_dinko]

Правим чертеж
[tex]S _ {\triangle ABC }= S _ {\triangle ABL } + S _ {\triangle ALC }[/tex]
[tex]\frac{1}{2} sin \alpha . 9. 12 = \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}} . 4 \sqrt {6}. 12 + \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}} . 9. 4 \sqrt {6}[/tex]
[tex]2. \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}} cos {\frac{\alpha}{2}}. 9. 12 = \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}} . 4 \sqrt {6}. 12 + \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}} . 9. 4 \sqrt {6} | : \frac{1}{2} sin {\frac{\alpha}{2}}[/tex]
[tex]2. cos {\frac{\alpha}{2}}. 9. 12 = 4 \sqrt {6}. 12 + 9. 4 \sqrt {6}[/tex]
[tex]18.12. cos {\frac{\alpha}{2}}= 8 4 \sqrt {6} \Rightarrow cos {\frac{\alpha}{2}}= \frac {7 \sqrt {6}}{18}[/tex]
[tex]sin {\frac{\alpha}{2}} = \sqrt {1 - cos ^2 {\frac{\alpha}{2}}} = \frac { \sqrt {30} }{18}[/tex]
[tex]cos \alpha = cos^2 {\frac{\alpha}{2}} - sin ^2 {\frac{\alpha}{2}} = \frac {264}{324}[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle CAB[/tex] - косинусова теорема:
[tex]BC = \sqrt { AC ^2 + BA ^2 - 2.AC. BA . cos \alpha }= \sqrt { 81 + 144 - 2.9.12 . \frac {264}{324} } = \sqrt {225 - 176} = 7[/tex]
[tex]BC=7[/tex]

[Евва]

(2 начин) Нека BL=x ,CL=y
х+у=?
Да използваме ,че [tex]\triangle[/tex]АВС е вписан в окръжност .
Точките А,В,М,С лежат на тази окр. [tex]\Rightarrow[/tex] АМ и ВС са пресичащи се хорди .[tex]\Rightarrow[/tex]
BL.CL=AL.ML т.е. ху=4[tex]\sqrt{6}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] ; ху=12 (1)
AL-ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BL}{CL}[/tex]=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex] т.е. [tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{12}{9}[/tex] (2)
Решаваме системата от (1) и (2) у-е и получаваме х=4 ,у=3 ; ВС=х+у=4+3=7

[S.B.]

В окръжност е вписан ABC със страни AB=12, AC=9. Ъглополовящата на ъгъл А пресича BC в точка L, а окръжността - в точка М, като AL=4корен от6, LM=корен от 6/2. Намерете дължината на BC.

Без заглавие - 2021-02-28T172931.952.png (231.3 KiB) Прегледано 459 пъти

Според мен задачата спокойно може да се реши и без да се използва условието,че триъгълникът е вписан и ъглополовящата пресича страната $BC $ в т.$L$,окръжността в т $M$, като [tex]LM = \frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] Аз също като mail_dinko реших задачата без да използвам това условие и получих същия отговор като Евва

[tex]\begin{array}{|l} AL^{2} = AB.AC - BL.CL \\ \displaystyle\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (4\sqrt{6})^{2} = 12.9 - xy \\ \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{12}{9}\end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} x y = 12 \\ x = \displaystyle\frac{4}{3} y \end{array}\Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm3 \Rightarrow y = 3 , x = 4[/tex]

$BC = BL + LC = x + y = 4 + 3 = 7$

Скрит текст: покажи

Според мен тази задача е поредната недомислица,която се сервира на децата