Помощ

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, ъгъл B=90°. Построена е окръжност с диаметър AB, която минава през средата P на AC. През точка C е прекарана допирателта CK към окръжността. Ако AB=4, намерете AK.

[S.B.]

Даден е триъгълник ABC, ъгъл B=90°. Построена е окръжност с диаметър AB, която минава през средата P на AC. През точка C е прекарана допирателта CK към окръжността. Ако AB=4, намерете AK.

Без заглавие - 2021-03-08T220934.946.png (245.83 KiB) Прегледано 332 пъти

От [tex]\begin{cases} O\in AB и AO = OB\\ P \in AC и AP = PC\end{cases} \rightarrow OP[/tex] е средна отсечка $\Rightarrow \begin{cases} OP || BC\\ OP = \frac{1}{2}BC \end{cases} , OP = 2 \Rightarrow BC = 4 \Rightarrow$
$ \triangle ABC$ е равнобедрен

$\triangle OKC \cong OBC \Rightarrow \angle COK = \angle COB = \alpha$
$\angle AOK = \varphi$
$2\alpha + \varphi = 180^\circ \Leftrightarrow \varphi = 180^\circ - 2\alpha \rightarrow cos\varphi = cos(180^\circ - 2\alpha) \Rightarrow cos\varphi= - cos2\alpha$
За $\triangle OBC \rightarrow OB = 2,BC = 4 \Rightarrow OC = 2\sqrt{5}$
$cos\alpha = \frac{OB}{OC} = \frac{\sqrt{5}}{5},sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha = \frac{5}{25} - \frac{20}{25} = - \frac{3}{5}$
$cos\varphi = -cos2\alpha \Rightarrow cos\varphi = \frac{3}{5}$
За $\triangle AOK$ прилагам Косинусова теорема:
$AK^{2} = AO^{2} + OK^{2} - 2.AO.OK.cos\varphi \Leftrightarrow AK^{2} = 2^{2} + 2^{2} - 2.2.2.\frac{3}{5} \Rightarrow AK = \frac{4\sqrt{5}}{5}$