Формули за радиус при равностранен триъгълник

[Proto0o]

Не си спомням формулите за радиус на вписана(r) и описана(R) около равностранен триъгълник окръжност. Мисля че се изразяват със страната 'а' и височината 'h' но не съм много сигурен. Знам формулите за височина h=(a*sqrt(3))/2 и за лице S=(a^2*sqrt(3))/4, които се извеждат от питагорова и от формулата за лице, но не се сещам за тези за радиус. Някой може ли да ми ги каже?

[Proto0o]

Nvm... изразих го R=(a*sqrt(3))/3 и r=(a*sqrt(3))/6

[Евва]

Правилно . Сигурно има много начина да стигнем до формулите .
Ето една идея :

[tex]\frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]=h=3r [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a \sqrt{3} }{6}[/tex]=r ( Съвпада с a=2[tex]\sqrt{3}[/tex].r )

[tex]\frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]=h=[tex]\frac{3}{2}[/tex]R [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a \sqrt{3} }{3}[/tex]=R ( Съвпада с a=[tex]\sqrt{3}[/tex].R )

[Гост]

Каква е формулата за радиус на описана окръжност при разносранен и равностранен триъгълник.

[Гост]

Каква е формулата за радиус на описана окръжност при разносранен и равностранен триъгълник.

От формула за лице $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},p=\frac{a+b+c}{2}$ $$\left(a=b=c; S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow R=\frac{a^3}{4S}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$$

От Синусова Теорема $\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2sin\alpha}=\frac{b}{2sin\beta}=\frac{c}{2sin\gamma}$ $$\left(a=b=c\Rightarrow R=\frac{a}{2sin60^\circ}=\frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$$