Ортоцентър

[Гост]

Даден е триъгълник ABC със страна AB=5 и cosACB = 4/5. Точка H е ортоцентър на ABC. Радиусът на описаната около триъгълника ABH окръжност е?

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВН -вписан в окръжност К(О;R)
(sin T) [tex]\frac{AB}{sin \angle AHB}[/tex]=2R

Скрит текст: покажи

Остана да намерим sin[tex]\angle[/tex]АНВ .

(1 начин)
[tex]\angle[/tex]АНВ и [tex]\angle[/tex]АСВ са ъгли с взаимноперпендикулярни рамене от различен вид (тъп и остър) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]АНВ+[tex]\angle[/tex]АСВ=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АНВ=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]АСВ

(2 начин)
Нека В[tex]В_{1 }[/tex] и А[tex]А_{1 }[/tex] са височини в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Н[tex]А_{1 }[/tex]С[tex]В_{1 }[/tex] е четириъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex]Н[tex]А_{1 }[/tex]+[tex]\angle[/tex]Н[tex]А_{1 }[/tex]С+[tex]А_{1 }[/tex]С[tex]В_{1 }[/tex]+С[tex]В_{1 }[/tex]Н=360[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АНВ+90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]АСВ+90[tex]^\circ[/tex]=360[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АНВ=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]АСВ

Скрит текст: покажи

Оставям на Гост удоволствието да завърши решението .Аз получих отговор [tex]\frac{25}{6}[/tex] =4,1(6) .