Да се намерят страните на триъгълника

[ervin]

Даден е триъгълник АВС с ъгъл BAC=120 и радиуси на вписаната и на описаната окръжности са съответно[tex]r=\sqrt{3}[/tex] и [tex]R=\frac{14\sqrt{3} }{ 3}[/tex] .Да се намерят страните на триъгълника. Отг.6,10,14

[Martin Nikovski]

Чертеж към задачата.

Drawing.jpg (16.92 KiB) Прегледано 500 пъти

Тъй като имаме, че [tex]\angle BAC=120^\circ[/tex], можем да намерим срещулежащата на този ъгъл страна, използвайки синусовата теорема.
За [tex]\Delta ABC[/tex]:
[tex]sin[/tex] [tex]T[/tex]: [tex]\frac{BC}{sin\angle BAC } =2R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=2R.sin120^\circ =\cancel2.\frac{14\cancel{\sqrt3}}{\cancel3 }.\frac{\cancel{\sqrt3}}{\cancel2 }=14cm[/tex]
Можем да изразим лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] по два начина: [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AC.BC.AB}{4R }[/tex] и [tex]S_{\Delta ABC}=pr[/tex], където [tex]p=\frac{AC+BC+AB}{2 }[/tex] (полупериметър на триъгълника).
Приравнявайки десните страни на двете уравнения, получаваме: [tex]\frac{AC.BC.AB}{4R }=\frac{AC+BC+AB}{2 }.r[/tex]
Търсим страните [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex]. Да ги означим съответно с [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], [tex]x,y>0[/tex].
Заместваме [tex]BC[/tex], [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] с техните стойности и получаваме:
[tex]\frac{\cancel{14}xy}{4.\frac{\cancel{14}\sqrt3}{3 } }=\frac{x+y+14}{2 }.\sqrt3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\cancel3xy}{4\cancel{\sqrt3} } =\frac{\sqrt{3}(x+y+14)}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\sqrt3xy}{4 } =\frac{\sqrt3(x+y+14)}{2 }/.\frac{2}{\sqrt3 }[/tex]
[tex]\frac{xy}{2 } =x+y+14[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]xy=28+2(x+y)[/tex] (1.)
За [tex]\Delta ABC[/tex]:
[tex]cos[/tex] [tex]T[/tex]: [tex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos\angle BAC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]14^2=x^2+y^2-2xy.cos120^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]196=x^2+y^2-\cancel2xy.(-\frac{1}{\cancel 2})[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]196=x^2+y^2+xy[/tex] (2.)
От (1.) и (2.) съставяме система: [tex]\begin{tabular}{|l}xy=28+2(x+y)\\196=x^2+y^2+xy \end{tabular}[/tex]
Виждаме, че първото уравнение съдържа изразите [tex]x+y[/tex] и [tex]xy[/tex]. Затова ще ни бъде по-лесно, ако преобразуваме второто уравнение, така че то също да съдържа тези изрази.
[tex]196=x^2+y^2+xy[/tex]
[tex](x+y)^2=x^2+2xy+y^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy[/tex]
Заместваме [tex]x^2+y^2[/tex] с [tex](x+y)^2-2xy[/tex] и получаваме [tex]196=(x+y)^2-2xy+xy=(x+y)^2-xy[/tex]
Системата придобива следния вид: [tex]\begin{tabular}{|l}xy=28+2(x+y)\\196=(x+y)^2-xy \end{tabular}[/tex]
Полагаме: [tex]x+y=t[/tex], [tex]xy=u[/tex], като [tex]t,u>0[/tex]
Тогава: [tex]\begin{tabular}{|l}u=28+2t\\196=t^2-u \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]196=t^2-(28+2t)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]196=t^2-28-2t[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t^2-2t-224=0[/tex]
[tex]D_1=(-1)^2-(-224)=1+224=225[/tex]
[tex]t_1=1+\sqrt{225}=1+15=16>0[/tex], [tex]t_2=1-\sqrt{225}=1-15=-14<0[/tex], което не е решение.
Остава само решението [tex]t=16[/tex].
[tex]u=28+2t=28+2.16=28+32=60>0[/tex]
Съставяме система, използвайки, че [tex]t=x+y[/tex], а [tex]u=xy[/tex].
[tex]\begin{tabular}{|l}t=16\\u=60 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x+y=16\\xy=60 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}y=16-x\\x(16-x)=60 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]16x-x^2=60[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2-16x+60=0[/tex]
[tex]D_2=(-8)^2-60=64-60=4[/tex]
[tex]x_1=8+\sqrt{4}=8+2=10[/tex], [tex]x_2=8-\sqrt4=8-2=6[/tex]
[tex]y_1=16-x_1=16-10=6[/tex], [tex]y_2=16-x_2=16-6=10[/tex], откъдето следва, че
[tex](x,y)=(10,6)[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex](x,y)=(6,10)[/tex]
[tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са всъщност страните [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] страните на [tex]\Delta ABC[/tex] са [tex]6cm[/tex],[tex]10cm[/tex] и [tex]14cm[/tex].
[tex]AB=10cm[/tex], [tex]AC=6cm[/tex], [tex]BC=14cm[/tex] ИЛИ [tex]AB=6cm[/tex], [tex]AC=10cm[/tex], [tex]BC=14cm[/tex]

[ubuntu]

Ето нещо по-опростено :
Мартин е намерил BC=14 , после използваме
tg60=r/p-a=?3/(b+c-14)/2 <=> b+c=16 (1)
S_abc=bc.sin120=(b+c+14).?3 <=> bc=2.(16+14)=60 (2)
От (1) и (2) намираме другите две страни.

[ganka simeonova]

ubuntu ,
Никога не забравяйте хубавите допирателни отсечки

[ervin]

Благодаря ви много

[Martin Nikovski]

Е, просто си заменил 20 реда от моите с 2. Шегувам се... не знам защо обаче:
1) Математическият ми "инстинкт" не работи като при нормалните хора - те гледат максимално лесно, бързо и кратко да решат задачата, а аз сякаш нарочно използвам колкото се може повече формули...
2) Странно как обикновено точно в момента, в който натисна "Изпрати", се сещам за решение, два пъти по-кратко от вече написаното. А не ми се редактира, защото ще се окаже, че съм си изхабил времето, пишейки дългото решение.

[ganka simeonova]

Е, просто си заменил 20 реда от моите с 2. Шегувам се... не знам защо обаче:
1) Математическият ми "инстинкт" не работи като при нормалните хора - те гледат максимално лесно, бързо и кратко да решат задачата, а аз сякаш нарочно използвам колкото се може повече формули...
2) Странно как обикновено точно в момента, в който натисна "Изпрати", се сещам за решение, два пъти по-кратко от вече написаното. А не ми се редактира, защото ще се окаже, че съм си изхабил времето, пишейки дългото решение.

При всеки се случва:)
Мислиш ли, ч това време, което си "изхабил" е съезмеримо с часа?

[Martin Nikovski]

Не, не мисля... всъщност май се изразих доста неправилно... Нищо не може да се сравни с усещането след дълга "борба" с някоя задача да достигнеш накрая до решението й. Така че (извод!) няма загубено време в решаване на задачи. Що се отнася до писането на решенията във форума, ситуацията е доста по-различна. Настина отнема известно време, но напоследък се справям все по-бързо. Не съм измервал времето, за което пиша едно средно дълго решение и правя чертеж (ако задачата го изисква).

[ganka simeonova]