задача 10 от ДЗИ 29.08.2019

[Гост]

Не мога да разбера как се решава тази задача. Моля за помощ.

dzi2010zad10.png (19.04 KiB) Прегледано 437 пъти

[S.B.]

Не мога да разбера как се решава тази задача. Моля за помощ.

Прикачения файл dzi2010zad10.png вече е недостъпен

Без заглавие - 2021-05-20T180327.180.png (265.46 KiB) Прегледано 422 пъти

[tex]A A_{1 } \bot BC \Rightarrow \triangle A A_{1 } C[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle C = 30 ^\circ \Rightarrow \angle CA A_{1 } = 60 ^\circ[/tex]
От [tex]A A_{1 } \bot BC , B B_{1 } \bot AC \rightarrow AB[/tex] се вижда под ъгъл [tex]90 ^\circ \Rightarrow AB[/tex] е диаметър на окръжност описана около [tex]AB B_{1 } A_{1 }[/tex] $AB = 2R$
За [tex]\triangle A A_{1 } B[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ A_{1 } B_{1 } }{\sin60 ^\circ } = 2R \Rightarrow A_{1 } B_{1 } = \sin 60 ^\circ .2R = \frac{ \sqrt{3} }{2} .2R \Rightarrow A_{1 } B_{1 }= R \sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{ A_{1 } B_{1 } }{AB} = \frac{R \sqrt{3} }{2R} \Rightarrow \frac{ A_{1 } B_{1 } }{AB} = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Отговор В)

[skadevil]

Тази задача се решаваше май с някакъв извод за подобни триъгълници, но съм я решавал отдавна и не си спомням как беше, но знам че [tex]\frac{А _{1 }В _{1 } }{AB} = cos 30 ^\circ = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
EDIT:

Скрит текст: покажи

S.B го доказа и ме изпревари с отг

[Евва]

Да развием идеята на skadevil . Нека ВС=а и АС=b .
[tex]\triangle[/tex]А[tex]А_{1 }[/tex]С е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] А[tex]А_{1 }[/tex]=[tex]\frac{AC}{2}[/tex] т.е. A[tex]A_{1 }[/tex]=[tex]\frac{b}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]А[tex]А_{1 }[/tex]С-прав.) [tex]А А_{1 } ^{2}+ С А_{1 } ^{2}[/tex]=[tex]АС^{2}[/tex] ; [tex]\frac{ b^{2} }{4}[/tex]+[tex]C A_{1 } ^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex] ; C[tex]A_{1 }[/tex]=[tex]\frac{b \sqrt{3} }{2}[/tex]
По същия начин ( разглеждайки [tex]\triangle[/tex]В[tex]В_{1 }[/tex]С ) доказваме ,че С[tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex] .
[tex]\triangle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]С[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АВС (2 признак) ,защото
1.[tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex]С[tex]А_{1 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]АСВ
2.[tex]\frac{ В_{1 } С}{ВС}[/tex]=[tex]\frac{ А_{1 } С}{АС}[/tex]=к=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

От [tex]\triangle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]С[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ А_{1 } В_{1 } }{АВ}[/tex]=к=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]