Отношение на отсечки

[Гост]

Даден е триъгълник АВС. Върху страната му АВ е продължението на страната АС са взети точки D и Е, за които е вярно, че BD=CE. [tex]DE \cap BC = M[/tex]. Да се докаже, че [tex]\frac{DM}{ME}[/tex] = [tex]\frac{AC}{AB}[/tex]. Та моята идея е да докажа, че BCDE е равнобедрен трапец, обаче ми убягва как и оттам с подобни триъгълници да докажа равенството.

[123a]

Най-кратко става с теоремата на Менелай.

Като прожим тази теорема за [tex]\triangle ADE[/tex] и правата BC имаме

[tex]\frac{AB}{BD}. \frac{MD}{ME} . \frac{CE}{AC}=1[/tex]

От равенството на BD и CЕ директно следва това, което се иска да се докаже

[Гост]

Има ли друг вариант?

[Евва]

Чрез допълнително построение .

[Гост]

Може ли по-подробно обяснение?

[Евва]

През т.D построяваме права d ||BC . Нека d[tex]\cap[/tex]AC в т.F .
За улеснение да отбележим CE=BD=a ,AD=b ,AF=c ,ME=f (1) .
[tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ADF (1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{AD}[/tex]=[tex]\frac{AC}{AF}[/tex] ;[tex]\frac{AD+BD}{AD}[/tex]=[tex]\frac{AF+FC}{AF}[/tex] ; 1+[tex]\frac{BD}{AD}[/tex]=1+[tex]\frac{FC}{AF}[/tex] (виж (1) )

[tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{FC}{c}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] FC=[tex]\frac{ac}{b}[/tex] (2)
По същия начин работим с тр-те FDE и CME .От тяхното подобие намираме DM=[tex]\frac{cf}{b}[/tex] (3) .

[tex]\frac{c}{b}[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex]

[tex]\frac{c}{b}[/tex]=[tex]\frac{c(a+b)}{b(a+b)}[/tex]

[tex]\frac{cf}{bf}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{cb+ca}{b} }{a+b}[/tex]

[tex]\frac{ \frac{cf}{b} }{f}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{c}{1}+ \frac{ac}{b} }{a+b}[/tex] ( виж (1) ,(2) и (3) )

[tex]\frac{DM}{ME}[/tex]=[tex]\frac{AF+FC}{BD+DA }[/tex]

[tex]\frac{DM}{ME}[/tex]=[tex]\frac{AC}{AB}[/tex]