Бедро на триъгълник ако имам радиуса и основата

[Гост]

Задачата е за 9 клас.

Условие:

Около окръжност с радиус 4 cm е описан равнобедрен триъгълник с основа 12 cm. Намерете бедрото на триъгълника.

Тази задача не мога да я реша. Прегледах решението - като видях, че се използва свойството за подобни триъгълници се подплаших... Може ли някой да ми я обясни, моля? Много, много ще съм благодарен!!

[Nathi123]

За триъг. АВС ,АС = ВС ; АВ = 12 см; к( О,r=4 см) - вписана в триъг АВС. Нека к[tex]\cap AC = P ; CD \bot AB \Rightarrow AD=BD=6 cm; AD=AP=6 cm[/tex] ( допирателни от А към к). Означаваме СР = х [tex]\Rightarrow AC=BC=x+6 cm ; O \in CD ; CD=CO+OD= CO+r = CO+4 ;[/tex] AO -ъглополовяща на [tex]\angle CAB[/tex],значи и ъглополовяща в [tex]\triangle ACD \Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{OD}{CO} \Rightarrow CO = \frac{2(x+6)}{3}; \triangle ADC \Rightarrow ( x+6) ^{2} = 36+( \frac{24+2x}{3}) ^{2}[/tex]
( Т-ма на Питагор ) .Преобразуваме и получаваме 5[tex]x^{2}+12x-24 ^{2} =0; (CD=CO+4= \frac{(24+2x) ^{2} }{9})[/tex].
D=54[tex]^{2}; x>0 \Rightarrow x= \frac{-6+54}{5} ; x = \frac{48}{5} \Rightarrow CA=CB= 6+\frac{48}{5} = 15,6[/tex]см .

[Евва]

Ако задачата бе за 10 клас ,то можеше да я решим само с тригонометрия .
т.Н -среда на отс.АВ , [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex]
АС=?
([tex]\triangle[/tex]АНО -правоъгълен) tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\frac{OH}{AH}[/tex]=[tex]\frac{4}{6}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] ; tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]AHC-правоъгълен) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AH}{AC}[/tex] ; cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{6}{AC}[/tex]

Формулата cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1- tg^{2} \frac{ \alpha }{2} }{1+ tg^{2} \frac{ \alpha }{2} }[/tex] представлява връзка между даденото ( tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ) и търсеното ( cos[tex]\alpha[/tex] ) .

От формулта [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{6}{АС} =\frac{ \frac{1}{1} -\frac{4}{9} }{ \frac{1}{1}+ \frac{4}{9} }[/tex]
След малко алгебра намираме АС=15,6 см.