Разстояние от центъра на впис. окр до върха

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 cm и 4 cm. Намерете разстоянията от центъра O на вписаната окръжност до върховете на триъгълника.

[S.B.]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 cm и 4 cm. Намерете разстоянията от центъра O на вписаната окръжност до върховете на триъгълника.

Без заглавие - 2021-07-09T123229.103.png (260.32 KiB) Прегледано 766 пъти

[tex]AC = 3 , BC = 4 \Rightarrow AB = 5[/tex] (по Питагор)
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{3.4}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 6[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1[/tex]
Точките $M,N,P$ са допирните точки на вписаната окръжност съответно до страните $AB , BC $ и $AC$ на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow OM \bot AB , M \in AB ; ON \bot BC , N \in BC ; OP \bot AC, P \in AC[/tex]
$OM = ON = OP = r = 1$
Като използвам свойството на допирателните от външна точка към окръжност отбелязвам:
$AM = AP = x, BM = BN = 5 - x , PC = NC = 3 - x$
[tex]BN + NC = BC \Leftrightarrow 5 - x + 3 - x = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2[/tex]
От [tex]\triangle AMO \rightarrow AO = \sqrt{ AM^{2} + OM^{2} } = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}[/tex] ( по Питагор)
От [tex]\triangle BMO \rightarrow BO = \sqrt{ BM^{2} + OM^{2} } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}[/tex] ( по Питагор)
От [tex]\triangle POC \rightarrow OC = \sqrt{ PC^{2} + OP^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}[/tex] (по Питагор)
$$\Rightarrow AO = \sqrt{5} ,BO = \sqrt{10}, CO = \sqrt{2} $$

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 cm и 4 cm. Намерете разстоянията от центъра O на вписаната окръжност до върховете на триъгълника.

Без заглавие - 2021-07-09T123229.103.png

[tex]AC = 3 , BC = 4 \Rightarrow AB = 5[/tex] (по Питагор)
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{3.4}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 6[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1[/tex]
Точките $M,N,P$ са допирните точки на вписаната окръжност съответно до страните $AB , BC $ и $AC$ на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow OM \bot AB , M \in AB ; ON \bot BC , N \in BC ; OP \bot AC, P \in AC[/tex]
$OM = ON = OP = r = 1$
Като използвам свойството на допирателните от външна точка към окръжност отбелязвам:
$AM = AP = x, BM = BN = 5 - x , PC = NC = 3 - x$
[tex]BN + NC = BC \Leftrightarrow 5 - x + 3 - x = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2[/tex]
От [tex]\triangle AMO \rightarrow AO = \sqrt{ AM^{2} + OM^{2} } = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}[/tex] ( по Питагор)
От [tex]\triangle BMO \rightarrow BO = \sqrt{ BM^{2} + OM^{2} } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}[/tex] ( по Питагор)
От [tex]\triangle POC \rightarrow OC = \sqrt{ PC^{2} + OP^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}[/tex] (по Питагор)
$$\Rightarrow AO = \sqrt{5} ,BO = \sqrt{10}, CO = \sqrt{2} $$

Благодаря от сърце за отговора! А защо се използва свойството на допирателите? Да не би да е защото страните на триъгълника се падат допирателни на окръжността? Питам, понеже не съм учил това в училище, хех. Извинете, че ви занимавам.... Благодаря предварително!

[S.B.]

Благодаря от сърце за отговора! А защо се използва свойството на допирателите? Да не би да е защото страните на триъгълника се падат допирателни на окръжността? Питам, понеже не съм учил това в училище, хех. Извинете, че ви занимавам.... Благодаря предварително!

Нямам представа кога сте били ученик,но със сигурност знам,че следното определение не се е изменяло никога:

Определение:
Окръжност,която се ДОПИРА до трите страни на един триъгълник,се нарича ВПИСАНА ОКРЪЖНОСТ за триъгълника, а триъгълникът се нарича ОПИСАН около окръжността

От това определение,което със сигурност сте изучавали ,следва ,че страните на триъгълника се явяват допирателни към вписаната в него окръжност.
Тъй като всеки две страни на триъгълника имат обща точка ,може да се приложи следната

Теорема:
Дължините на допирателните към дадена окръжност,прекарани през точка вън от окръжността ,са равни

Всичко това се изучава в 8 клас.Не зная за какво се подготвяте,но дори и да решавате задачи за собствено удоволствие,аз Ви препоръчвам да попълните празнотите в знанията си като започнете с материала от 7 клас.Там се поставят основите на геометрията.Сигурно сте чували,че знанията по математика представляват верига,на която всяка брънка трябва да е на мястото си.Ако няма пропуски в знанията - всичко е на ред и удоволствието от решаването на задачи е неописуемо.За това математиката е най - лесната,но и най - трудната наука.Желая Ви успех!