Разстояние от центъра на вписаната окръжност и медицентъра

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до центъра на вписаната в триъгълника окръжност.


Как мога да направя чертежа? Не знам къде да сложа медицентъра. Знам, че медицентъра е пресечната точка на медианите, но не знам просто как да направя самия чертеж като цяло. Не знам как мога да използвам привилегиите, които ми дава медицентъра... Може ли помощ, моля? Благодаря от сърце на всеки, който се опитва да ми помогне

[Гост]

Og=x.PNG (30.75 KiB) Прегледано 942 пъти

[Гост]

OG.PNG (37.11 KiB) Прегледано 940 пъти

[Гост]

OGg.PNG (52.31 KiB) Прегледано 938 пъти

[Гост]

последното е чрез инерционни моменти, подходящо за инженери

[S.B.]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до центъра на вписаната в триъгълника окръжност.


Как мога да направя чертежа? Не знам къде да сложа медицентъра. Знам, че медицентъра е пресечната точка на медианите, но не знам просто как да направя самия чертеж като цяло. Не знам как мога да използвам привилегиите, които ми дава медицентъра... Може ли помощ, моля? Благодаря от сърце на всеки, който се опитва да ми помогне

Без заглавие - 2021-07-12T093238.155.png (232.93 KiB) Прегледано 928 пъти

[tex]AC = 6 , BC = 8, \angle C = 90 ^\circ \Rightarrow AB = 10[/tex]
$CM$ е медиана [tex]\Rightarrow CM = AM = BM = 5[/tex]
$G$ е медицентър [tex]\Rightarrow GM = \frac{1}{3}CM = \frac{5}{3}[/tex]
$О$ - център на вписаната окръжност , $OP = r$
Построявам $ GK|| AB$
[tex]\triangle KGO[/tex] е правоъгълен, [tex]GO = \sqrt{ OK^{2} + KG^{2} }[/tex]
Ще търся $OK$ и $KG$

От[tex]\begin{cases} OK = OP - KP \\ OP = r\\KP = GQ \end{cases} \Rightarrow OK = r - GQ[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{6.8}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 24[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow p.r = 24 \Leftrightarrow 2.r = 24 \Rightarrow r = 2[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{CH.AB}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{10.h}{2} \Leftrightarrow 5h = 24 \Rightarrow h = \frac{24}{5}[/tex]
[tex]\triangle CHM \approx \triangle QMG , k = \frac{1}{3} \Rightarrow GQ = \frac{1}{3}h \Rightarrow GQ = \frac{8}{5}[/tex]
[tex]OK = r - GQ = 2 - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}[/tex]
$$\Rightarrow OK = \frac{2}{5} $$

От [tex]\begin{cases} KG = PQ \\ PQ = PM - QM \end{cases} \Rightarrow KG = PM - QM[/tex]
От [tex]\triangle QMG \rightarrow QM^{2} = GM^{2}- GQ^{2} \Leftrightarrow QM^{2} = ( \frac{5}{3}) ^{2} - ( \frac{8}{5}) ^{2} \Rightarrow QM = \frac{7}{15}[/tex]
$P$ е допирна точка на окръжността към страната $AB$ и $AP$ се намира лесно,като се използва свойството на допирателните от външна точка към окръжност.
[tex]AP = 4 , AM = 5 \Rightarrow PM = 1,PQ= PM - QM = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}[/tex]
$$\Rightarrow KG = PQ = \frac{8}{15} $$

От [tex]\triangle OGK \rightarrow OG^{2} = KG^{2} + OK^{2} = ( \frac{8}{15}) ^{2} + ( \frac{2}{5}) ^{2} = \frac{64}{225} + \frac{4}{25} = \frac{100}{225}[/tex]
$$\Rightarrow OG = \frac{10}{15} $$