Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC ( \angle C = 90 ^\circ)[/tex] с остър ъгъл [tex]\angle BAC = \alpha[/tex]. Нека т. О е вътрешна за триъгълника, като [tex]\angle OAB = \angle OBC = \angle OCA = \varphi[/tex]. Да се докаже, че [tex]tg \varphi = sin \alpha × cos \alpha[/tex]. Доказах, че [tex]\angle BOC = 90 ^\circ[/tex], но само дотам ...

[Евва]

Нека BC=a ,AC=b ,AB=c ,BO=y .
Лесно се намират ъглите на [tex]\triangle[/tex]АВО - [tex]\angle[/tex]АОВ=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ОАВ=[tex]\varphi[/tex] .
Намираме и ъглите на [tex]\triangle[/tex]ОВС - [tex]\angle[/tex]ВОС=90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ОВС=[tex]\varphi[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]ABO -sin T) [tex]\frac{AB}{sin(90 ^\circ + \alpha) }[/tex]=[tex]\frac{BO}{sin \varphi }[/tex] т.е. [tex]\frac{c}{cos \alpha }[/tex]=[tex]\frac{y}{sin \varphi }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{y.cos \alpha }{c}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]OBC -правоъгълен) cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{OB}{BC}[/tex] т.е. cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{y}{a}[/tex] (2)

tg[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{sin \varphi }{cos \varphi }[/tex]=[tex]\frac{ \frac{y.cos \alpha }{c} }{ \frac{y}{a} }[/tex] =[tex]\frac{ay.cos \alpha }{cy}[/tex]=[tex]\frac{a}{c}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]