Квадрати и триъгълник

[Гост]

Върху страните АС и ВС на триъгълник АВС, външно от триъгълника, са построени квадратите BKPC и ACSL. Да се докаже, че продължението на височината през ъгъл С разполовява отсечката PS? Аз доказах, че АВ = PS чрез еднакви триъгълници, даже видях възможност да опиша окръжност около четириъгълник ABPS ама само дотам ...

[S.B.]

Върху страните АС и ВС на триъгълник АВС, външно от триъгълника, са построени квадратите BKPC и ACSL. Да се докаже, че продължението на височината през ъгъл С разполовява отсечката PS? Аз доказах, че АВ = PS чрез еднакви триъгълници, даже видях възможност да опиша окръжност около четириъгълник ABPS ама само дотам ...

Без заглавие - 2021-07-13T230150.026.png (354.88 KiB) Прегледано 511 пъти

Нека [tex]\angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]\angle ACB + \angle ACS + \angle BCP + \angle SCP = 360 ^\circ \Leftrightarrow \gamma + 90 ^\circ + 90 ^\circ + \angle SCP = 360 ^\circ \Rightarrow \angle SCP = 180 ^\circ - \gamma[/tex]
Построявам права [tex]l \begin{cases} l z P \\ l ||SC \end{cases}[/tex]
Продължението на височината $CH$ пресича $SP$ в точка $M$ и правата $l$ в точка $T$
Ще докажем,че $SM = MP$
[tex]\angle STP = 180 ^\circ - \gamma \Rightarrow \angle TPC = \gamma[/tex] ( прилежащи ъгли)
Ако [tex]\angle PTC = \varphi \Rightarrow \angle SCT = \varphi[/tex] (кръстни ъгли)
[tex]\angle TCS + \angle SCA + \angle ACH = 180 ^\circ \Leftrightarrow \varphi + 90 ^\circ + \angle ACH = 180 ^\circ \Rightarrow \angle ACH = 90 ^\circ - \varphi \Rightarrow \angle C A B= \varphi[/tex]
[tex]\triangle ABC \cong CTP[/tex] ( втори признак) [tex]\Rightarrow TP = AC = b[/tex]
От [tex]\begin{cases} TP = SC = b \\ TP||SC \end{cases} \rightarrow SCPT[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow[/tex] диагоналите му се разполовяват в пресечната си точка
$$\Rightarrow SM = MP$$