Ъглополовяща в равнобедрен триъгълник

[Гост]

Ъглополовящите на ъглите при основата на равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) пресичат бедрата на триъгълника в точки M и N.

a) Докажете, че правата MN е успоредна на основата AB.
б) Ако AC=6 cm и AB=4 cm, намерете дължината на отсечката MN.

[S.B.]

Ъглополовящите на ъглите при основата на равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) пресичат бедрата на триъгълника в точки M и N.

a) Докажете, че правата MN е успоредна на основата AB.
б) Ако AC=6 cm и AB=4 cm, намерете дължината на отсечката MN.

Без заглавие - 2021-07-16T142640.263.png (254.41 KiB) Прегледано 4079 пъти

а)
[tex]\triangle ABM \cong \triangle ABN[/tex] (втори признак) [tex]\Rightarrow MP = NQ[/tex] (като съответни височини в еднакви триъгълници)

От [tex]\begin{cases} MP||NQ\\ MP = NQ\\ \angle MPQ = 90 \end{cases} \rightarrow PQNM[/tex] е правоъгълник [tex]\Rightarrow MN || PQ[/tex] ,но [tex]PQ \in AB \Rightarrow MN || AB[/tex]

б)$BM$ е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \Leftrightarrow \frac{x}{6 - x} = \frac{4}{6} \Rightarrow x = \frac{12}{5} = 2,4 \Rightarrow AM = 2,4[/tex]
[tex]\angle MAN = \angle NAB = \alpha[/tex] (като [tex]\frac{1}{2} \angle A[/tex])
[tex]\angle NAB = \angle MNA = \alpha[/tex] ( като кръстни ,понеже $AB || MN$)
[tex]\Rightarrow \angle NAM = \angle ANM = \alpha \Rightarrow \triangle ANM[/tex] е равнобедрен и $AM = MN $
$$AM = 2,4 \Rightarrow MN = 2,4$$

[Гост]

Друг начин:
[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ[/tex]-4[tex]\alpha[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AMC[tex]\cong \triangle[/tex]BNC по втори признак [tex]\Rightarrow[/tex] CN=CM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MNC=2[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]MNC=2[tex]\alpha[/tex] - съответни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex]АВ е успуредна на MN

[Гост]

Друг начин:
[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ[/tex]-4[tex]\alpha[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ANC[tex]\cong \triangle[/tex]BMC по втори признак [tex]\Rightarrow[/tex] CN=CM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MNC=2[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]NMC=2[tex]\alpha[/tex] - съответни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex]АВ е успуредна на MN

Лека поправка заради чертежа

[Гост]

Така е като ползваш чужд чертеж...

[Гост]

В думата "успуредна" няма ли правописна грешка?