Вписана окръжност

[Гост]

За [tex]\triangle ABC[/tex] е известно, че BC = 11. Вписаната в триъгълника окръжност се допира до АВ в точка D и AC=CD, а [tex]cos \angle CAB= \frac{1}{6}[/tex]. Намерете дължината на страните АС и АВ. След дълги разсъждения получих като отговори АС = [tex]\frac{99}{20}[/tex], а AB = [tex]\frac{187}{20}[/tex], a в отговорите на сборника са посочени отговори съответно 9 и 8 см. Ако някой може да си свери отговорите с мен, ще бъда много благодарен!

[Евва]

Посочените в сборника отговори са верни .

[S.B.]

За [tex]\triangle ABC[/tex] е известно, че BC = 11. Вписаната в триъгълника окръжност се допира до АВ в точка D и AC=CD, а [tex]cos \angle CAB= \frac{1}{6}[/tex]. Намерете дължината на страните АС и АВ. След дълги разсъждения получих като отговори АС = [tex]\frac{99}{20}[/tex], а AB = [tex]\frac{187}{20}[/tex], a в отговорите на сборника са посочени отговори съответно 9 и 8 см. Ако някой може да си свери отговорите с мен, ще бъда много благодарен!

Без заглавие - 2021-08-23T070340.712.png (301.27 KiB) Прегледано 405 пъти

От свойството на допирателни от външна точка към окръжност имаш:
$AD = AP = x , PC = QC = y , DB = QB = 11-y$
От [tex]AC = DC \rightarrow \triangle ADC[/tex] е равнобедрен
[tex]CH \bot AD \Rightarrow AH = HD = \frac{x}{2}[/tex]
От [tex]\triangle AHC \rightarrow \displaystyle\frac{AH}{AC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{2} }{x + y}= \displaystyle\frac{1}{6} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{2(x + y)} = \displaystyle \frac{1}{6} \Leftrightarrow 3x = x + y \Rightarrow y = 2x[/tex]
[tex]AC = x + y \Rightarrow AC = 3x , AB = x + 11-y \Rightarrow AB = x + 11 - 2x = 11 - x[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]BC^{2} = AB^{2}+ AC^{2} - 2.AB.AC.\cos \alpha \Leftrightarrow 11^{2} = (3x)^{2} + (11-x)^{2} - 2.3x.(11 - x) . \frac{1}{6} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]11 x^{2 } - 33x = 0 \Leftrightarrow 11x(x - 3) = 0[/tex]
[tex]11x \ne 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3[/tex]
[tex]AC = 3x \Rightarrow AC = 3.3 =9[/tex]
[tex]AB = 11-x \Rightarrow AB = 11 - 3 = 8[/tex]
$$ AB = 8 ,AC = 9$$