Триъгълник

[Гост]

AP е ъглополовящата в [tex]\triangle ABC[/tex]. Известно е, че BP=16, CP=20 и центърът на описаната около [tex]\triangle ABP[/tex] окръжност лежи върху страната АС. Намерете дължините на страните АВ и АС. Стигнах до извода че [tex]\angle ABC > 90°[/tex], OP||AB и после с Талес открих, че [tex]\frac{OC}{AC} = \frac{OP}{AB} = \frac{5}{9}[/tex]. И дотам, надявам се някой да успее да довърши задачата!

[Евва]

Случайно отговорите да са АВ=[tex]\frac{144 \sqrt{5} }{5}[/tex] и АС=36[tex]\sqrt{5}[/tex]

[Гост]

Да, такива са отговорите!

[Евва]

Нека окр. пресича отсечката АС в т.М .Означаваме МС=у .
АР е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{РС}{ВР}= \frac{АС}{АВ}[/tex] ; [tex]\frac{20}{16}[/tex]=[tex]\frac{АС}{АВ}[/tex] ; АС=5х , АВ=4х .
АМ+МС=АС ;АМ+у=5х намираме АМ=5х-у (АМ е диаметър)
АО=МО=[tex]\frac{5х-у}{2}[/tex]

Гост откри ,че [tex]\frac{ОС}{АС}[/tex]=[tex]\frac{РС}{ВС}[/tex] ; [tex]\frac{ОМ+МС}{АС} =\frac{20}{36}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ \frac{5х-у}{2}+ \frac{у}{1} }{5х}[/tex]=[tex]\frac{5}{9}[/tex]
...
у=[tex]\frac{5х}{9}[/tex] (1)

СА и СВ са отсечки ,които са спуснати от т.С ,която лежи вън от окръжността [tex]\Rightarrow[/tex] важи формулата (от 8 клас) СМ.СА=СР.СВ ; у.5х=20.36 ; у=[tex]\frac{144}{х}[/tex] (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{5х}{9}[/tex]=[tex]\frac{144}{х}[/tex] ; х=[tex]\frac{36 \sqrt{5} }{5}[/tex]

Тогава АВ=4х=[tex]\frac{144 \sqrt{5} }{5}[/tex] и АС=5х=36[tex]\sqrt{5}[/tex]