Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрения [tex]\triangle ABC (AC=BC)[/tex] е вписана окръжност с център О. Правата АО пресича страната ВС в точката М, така че АО = 3, ОМ = 2. Да се намерят радиусът на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност и [tex]cos \angle BAC[/tex]. (ТУ София, 2000) Отговорите са [tex]2 \sqrt{6}[/tex] и [tex]\frac{1}{4}[/tex].
Та аз изразих CO чрез две синусови теореми в триъгълниците АОС и МОС като след много преобразувания стигнах до уравнението [tex]4 cos^{2 } \alpha - 3cos \alpha -1 = 0[/tex], където за [tex]cos \alpha = cos\angle BAC[/tex] получих стойности [tex]- \frac{1}{4}[/tex] и [tex]1[/tex]. Та въпросът ми е имам ли грешка в пресмятанията или посоченият в сборника отговор е грешен?

[Евва]

Аз получих отговорите ,които са посочени в сборника .

[S.B.]

В равнобедрения [tex]\triangle ABC (AC=BC)[/tex] е вписана окръжност с център О. Правата АО пресича страната ВС в точката М, така че АО = 3, ОМ = 2. Да се намерят радиусът на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност и [tex]cos \angle BAC[/tex]. (ТУ София, 2000) Отговорите са [tex]2 \sqrt{6}[/tex] и [tex]\frac{1}{4}[/tex].
Та аз изразих CO чрез две синусови теореми в триъгълниците АОС и МОС като след много преобразувания стигнах до уравнението [tex]4 cos^{2 } \alpha - 3cos \alpha -1 = 0[/tex], където за [tex]cos \alpha = cos\angle BAC[/tex] получих стойности [tex]- \frac{1}{4}[/tex] и [tex]1[/tex]. Та въпросът ми е имам ли грешка в пресмятанията или посоченият в сборника отговор е грешен?

Без заглавие - 2021-08-24T202633.708.png (264.73 KiB) Прегледано 472 пъти

Нека [tex]AC = BC = b , AB = c , \angle BAC = \alpha[/tex]
$CO$ е ъглополовяща и за [tex]\triangle AMC \rightarrow \frac{CM}{AC} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{CM}{b} = \frac{2}{3} \Rightarrow CM = \frac{2}{3} b , BM = \frac{1}{3}b[/tex]

$АМ$ е ъглополовяща в [tex]\triangle ABC \rightarrow\displaystyle \frac{AB}{AC} = \displaystyle\frac{BM}{MC} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{c}{b} = \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{1}{3}b }{ \displaystyle\frac{2}{3} b} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{c}{b} = \displaystyle \frac{1}{2} \Rightarrow b = 2c \Leftrightarrow c = \displaystyle \frac{b}{2}[/tex]

Като ъглополовяща [tex]AM^{2 } = AB.AC - BM.MC \Leftrightarrow 25 = \frac{b}{2}.b - \frac{1}{3}b. \frac{2}{3}b \Leftrightarrow 25 = b^{2 } \frac{5}{18} \Rightarrow b = 3 \sqrt{10}[/tex]

От [tex]\triangle ADC \rightarrow \cos \alpha = \frac{AD}{AC} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{4} , \sin \alpha = \frac{ \sqrt{15} }{4}[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:

[tex]\displaystyle\frac{BC}{\sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{3 \sqrt{10} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{15} }{4} } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{12 \sqrt{2} \sqrt{5} }{ \sqrt{3} \sqrt{5} } = 2R \Leftrightarrow \frac{12 \sqrt{6} }{3} = 2R \Rightarrow R = 2 \sqrt{6}[/tex]
$$R = 2 \sqrt{6} , \cos \angle BAC = \frac{1}{4} $$