Правоъгълен триъгълник с 2 точки на хипотенузата

[Гост]

По това как изглежда на чертежа ми се струва че CL би била равна на KL, но не знам как да го докажа.

[KOPMOPAH]

Задачата е решавана наскоро, има интересни коментари. Потърси във форума.

[Гост]

Потърси във форума в раздел 10 клас тема " Правоъгълен триъгълник"

[S.B.]

Без заглавие - 2021-09-02T112747.921.png (354.47 KiB) Прегледано 404 пъти

ГОСТ,правилно си забелязал на чертежа,че $KL = CL$ То е защото според условието [tex]CK = \sqrt{2}.CL[/tex] и би трябвало [tex]\triangle CKL[/tex] да бъде равнобедрен и правоъгълен, но тогава [tex]\angle C > 90 ^\circ[/tex] .Не се отказвам от мнението си,че така зададеното условие е некоректно,тъй като не може да бъде ПОСТРОЕН [tex]\triangle ABC[/tex] в който да са изпълнени условията [tex]\angle C = 90 ^\circ ,AK = KL = LB , CK = \sqrt{2}CL[/tex].Въпреки това ще дам решение на задачата така,както е зададена.Явно за авторите не е било важно дали този триъгълник съществува изобщо!
Нека [tex]AC = c \Rightarrow AK = KL = LB = \frac{c}{3}[/tex]
Нека $AC = b, BC = a$
Построявам правите:
[tex]l_{1 }: \begin{cases} z K \\ || BC\\ \cap AC = P\end{cases} , l_{2 }: \begin{cases} z L \\ || BC\\ \cap AC = Q \end{cases}, p_{1 }: \begin{cases} z K \\ || AC\\ \cap CB = N \end{cases} , p_{2 }: \begin{cases} z L \\ || AC\\ \cap CB = M\end{cases}[/tex]
По Талес:
За [tex]\angle BAC[/tex] от [tex]AK = KL = LB = \frac{c}{3} \rightarrow AP = PQ = QC = \frac{b}{3}[/tex]
За [tex]\angle ABC[/tex] от [tex]BL = LK = KA = \frac{c}{3} \rightarrow BM = MN = NC = \frac{a}{3}[/tex]

Четириъгълникът $PKNC$ има 3 прави ъгъла [tex]\Rightarrow PKNC[/tex] е правоъгълник с диагонал $CK$:
[tex]CK^{2 } = PC^{2 } + CN^{2 } = (2 \frac{b}{3}) ^{2 } + ( \frac{a}{3}) ^{2 } = \frac{4}{9} b^{2 } + \frac{1}{9} a^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$CK^{2 } = \frac{1}{9} (4 b^{2 } + a^{2 }) $$
Четириъгълникът $LMCQ$ има три прави ъгъла и е правоъгълник с диагонал $CL$:
[tex]CL^{2 } = MC^{2 } + QC^{2 } = ( \frac{2a}{3}) ^{2 } + ( \frac{b}{3}) ^{2 } = \frac{4}{9} a^{2 } + \frac{1}{9} b^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$CL^{2 } = \frac{1}{9}(4 a^{2 }+ b^{2 }) $$
От [tex]CK = \sqrt{2}CL \rightarrow CK^{2 } = 2 CL^{2 } \Rightarrow \frac{1}{9}(4 b^{2 } + a^{2 }) = \frac{2}{9}(4 a^{2 }+ b^{2 }) \Rightarrow 4 b^{2 } + a^{2 } = 8 a^{2 } + 2 b^{2 } \Leftrightarrow 2 b^{2 } = 7 a^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$b = \frac{a \sqrt{14} }{2} $$
[tex]\frac{a}{b} = \tg \alpha \Leftrightarrow \tg \alpha = \frac{2}{ \sqrt{14} } \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \displaystyle \frac{2}{ \sqrt{14} } \\ sin^{2 } \alpha + cos^{2 } \alpha = 1\end{array}[/tex]
От тази система се получава [tex]\cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{3},\sin \alpha = \cos \beta = \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex]

[S.B.]

Потърси във форума в раздел 10 клас тема " Правоъгълен триъгълник"

Ето ТУК