Медицентър и вписан четириъгълник

[Гост]

Опитах се с означения на съотношенията на медианите и косинусова теорема, но бях до там.

[Гост]

ACB.PNG (141.13 KiB) Прегледано 1292 пъти

ясно ли е?

[Евва]

а) 2 начин
Нека BC=2a ,AC=2b и [tex]\angle[/tex]AMC=[tex]\beta[/tex] .
Точка А е външна за окръжността [tex]\Rightarrow[/tex] AN.AC=AG.AM
b.2b=[tex]\frac{2}{3}[/tex]AM.AM ; AM=b[tex]\sqrt{3}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]ABM-cos T) [tex]AB^{2 }[/tex]=[tex]AM^{2 }[/tex]+[tex]BM^{2 }[/tex]-2AM.BMcos[ 180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] ]
[tex]AB^{2 }[/tex]=3[tex]b^{2 }[/tex]+[tex]a^{2 }[/tex]+2[tex]\sqrt{3}[/tex].ab.cos[tex]\beta[/tex] (2)

([tex]\triangle[/tex]AMC-cos T) [tex]AC^{2 }[/tex]=[tex]AM^{2 }[/tex]+[tex]CM^{2 }[/tex]-2AM.CMcos[tex]\beta[/tex]
4[tex]b^{2 }[/tex]=3[tex]b^{2 }[/tex]+[tex]a^{2 }[/tex]-2b[tex]\sqrt{3}[/tex]a.cos[tex]\beta[/tex]

2[tex]\sqrt{3}[/tex]ab.cos[tex]\beta[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]-[tex]b^{2 }[/tex] (3)
Заместваме (3) в (2)

[tex]AB^{2 }[/tex]=3[tex]b^{2 }[/tex]+[tex]a^{2 }[/tex]+[tex]a^{2 }[/tex]-[tex]b^{2 }[/tex]
2[tex]AB^{2 }[/tex]=4[tex]a^{2 }[/tex]+4[tex]b ^{2 }[/tex] ; 2[tex]AB^{2 }[/tex]=[tex](2a)^{2 }[/tex]+[tex](2b)^{2 }[/tex]

2[tex]AB^{2 }[/tex]=[tex]BC^{2 }[/tex]+[tex]AC^{2 }[/tex]