Да се намерят страните

[Евва]

Вписаната окръжност в триъгълник разделя една от медианите му на три равни части .
Да се намерят страните на тр-ка , ако лицето му е 24[tex]\sqrt{14}[/tex] .

[Гост]

тая май я има тука негде из форума-потърси я

[nick]

Вписаната окръжност в триъгълник разделя една от медианите му на три равни части .
Да се намерят страните на тр-ка , ако лицето му е 24[tex]\sqrt{14}[/tex] .

Отговорите да не са случайно:

Скрит текст: покажи

$10, 20, 26$

[Евва]

Точно това са отговорите .

[Евва]

Не ми давайте точки ,когато просто потвърждавам верен отговор .

[Гост]

Не ми давайте точки ,когато просто потвърждавам верен отговор .

Това е един и същ потребител с два профила .Сам си задава задачките до 6 клас , сам си отговаря и после си пише и точките.Толкова е прозрачна цялата работа!

[Евва]

Гост написа : "Това е един и същ потребител с два профила ."
Грешка !
Ще се радвам ,ако admin успее да докаже ,че Евва и nick не са един и същ потребител .

[Гост]

Гост написа : "Това е един и същ потребител с два профила ."
Грешка !
Ще се радвам ,ако admin успее да докаже ,че Евва и nick не са един и същ потребител .

Не Ева а други двама

[S.B.]

Вписаната окръжност в триъгълник разделя една от медианите му на три равни части .
Да се намерят страните на тр-ка , ако лицето му е 24[tex]\sqrt{14}[/tex] .

Без заглавие - 2021-11-05T201006.833.png (268.1 KiB) Прегледано 1224 пъти

Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите.$OC$ е ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex], но $OC$ съвпада и с правата на която лежи диаметъра на окръжността [tex]\Rightarrow OC \bot KL[/tex]
[tex]OC \cap KL = H \Rightarrow KH = LH[/tex]
От [tex]\begin{cases} AK = KL = LM \\ KH = HL \end{cases} \Rightarrow AH = HM[/tex]
$CH$ е ъглополовяща и медиана едновременно в [tex]\triangle AMC \Rightarrow \triangle AMC[/tex] е равнобедрен и [tex]AC = MC[/tex]
Нека [tex]AC = b \Rightarrow BC = 2b[/tex] (защото $AM$ е медиана) [tex]AB = c[/tex]
Нека точките $T , P,Q$ са допирните точки на вписаната окръжност съответно със страните $AB ,AC,BC$
Нека $AT = t $ [tex]\Rightarrow BT = c - t[/tex]
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност имаме:
$AP = AT = t ,BT = BQ = c-t , PC = CQ = b - t$
[tex]BQ + QC = BC \Leftrightarrow c - t + b - t = 2b \Leftrightarrow c - b = 2t \Rightarrow[/tex]
$$t = \frac{c - b}{2} $$

[tex]MA = m_{a } , m_{a } ^{2 } = \frac{1}{4}(2 b^{2 }+ 2 c^{2 } - a^{2 }) = \frac{1}{4}(2 b^{2 } + 2 c^{2 } - 4 b^{2 } = \frac{2}{4}( c^{2 } - b^{2 } ) \Rightarrow[/tex]
$$ m_{a } ^{2 } = \frac{1}{2}( c^{2 } - b^{2 }) $$

[tex]AT^{2 } = AK.AL \Leftrightarrow t^{2 } = \frac{1}{3} m_{a }. \frac{2}{3} m_{a } \Rightarrow t^{2 } = \frac{2}{9} m_{a } ^{2 } \Leftrightarrow t^{2 } = \frac{2}{9}. \frac{1}{2}( c^{2 } - b^{2 }) \Rightarrow[/tex]
$$t = \frac{ \sqrt{ c^{2 } - b^{2 } } }{3} $$
От [tex]\begin{cases} t = \displaystyle \frac{c - b}{2} \\ t = \displaystyle \frac{ \sqrt{ c^{2 }- b^{2 } } }{3} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{c - b}{2} = \displaystyle\frac{ \sqrt{ c^{2 }- b^{2 } } }{3}[/tex]

[tex]\frac{c - b}{2} \frac{ \sqrt{ c^{2 }- b^{2 } } }{3} \Leftrightarrow \frac{ (c - b)^{2 } }{4} = \frac{ c^{2 } - b^{2 } }{9} \Leftrightarrow (c - b)( \frac{c - b}{4} - \frac{c + b}{9}) = 0[/tex]
[tex](c - b) \ne 0 \Rightarrow \frac{c - b}{4} - \frac{c + b}{9} = 0 \Leftrightarrow 9c - 9b - 4c - 4b = 0 \Leftrightarrow 5c - 13b = 0 \Leftrightarrow 5c = 13b \Rightarrow \frac{c}{b} = \frac{13}{5}[/tex]
Тогава $c = 13x , b = 5x , 2b = 10x$
Нека $p$ е полупериметъра на триъгълника
[tex]p = 14x , p -c = x , p -b = 9x , p - 2b = 4x[/tex]

Прилагам Херонова формула за лице на триъгълник:

[tex]\sqrt{14x.x.9x.4x} = 24 \sqrt{14} \Leftrightarrow 6 x^{2 } \sqrt{14} = 24 \sqrt{14} \Rightarrow x^{2 } = 4, x_{1,2 } = \pm 2 , x >0 \Rightarrow x = 2[/tex]

$AB = c = 13.2 = 26, AC = b = 5.2 = 10 , BC = 2b = 10.2 = 20$
$$AB = 26 ,BC = 20, AC = 10$$