Задача с ъглополовяща

[Гост]

Моля за помощ за следната задача за 10 клас.
В триъгълник АВС ъгъл ВАС е 120 градуса. Ъглополовящата на ъгъл ВАС се разделя в отношение 8 към 7 считано от точка А. Намерете косинусите на другите два ъгъла на триъгълника.

[Гост]

Допуснал съм грешка в условието, това е реално:
В триъгълник АВС ъгъл ВАС е 120 градуса. Ъглополовящата на ъгъл ВАС се разделя от центъра на вписаната окръжност в отношение 8 към 7 считано от точка А. Намерете косинусите на другите два ъгъла на триъгълника.

[Евва]

Получих [tex]\frac{11}{14}[/tex] и [tex]\frac{13}{14}[/tex] .
Греша ли ?

[Евва]

AL -ъглополовяща , К(О ;r) -вписана
[tex]\frac{AO}{LO}[/tex]=[tex]\frac{8}{7}[/tex]
cos[tex]\beta[/tex]=? cos[tex]\gamma[/tex]=?

([tex]\triangle[/tex]ABO-sin T) [tex]\frac{AO}{sin \frac{ \beta }{2} }[/tex]=[tex]\frac{BO}{sin60 ^\circ }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AO =[tex]\frac{2BO.sin \frac{ \beta }{2} }{ \sqrt{3} }[/tex]

([tex]\triangle[/tex]OBL-sin T) [tex]\frac{LO}{sin \frac{ \beta }{2} } =\frac{BO}{sin(120 ^\circ- \beta )}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LO =[tex]\frac{2BO.sin \frac{ \beta }{2} }{ \sqrt{3}cos \beta +sin \beta }[/tex]

Тогава [tex]\frac{AO}{LO}[/tex] =[tex]\frac{ \frac{2BO.sin \frac{ \beta }{2} }{ \sqrt{3} } }{ \frac{2BO.sin \frac{ \beta }{2} }{ \sqrt{3}.cos \beta+sin \beta } }[/tex] =[tex]\frac{8}{7}[/tex]

[tex]\frac{ \sqrt{3}cos \beta+sin \beta }{ \sqrt{3} }[/tex]=[tex]\frac{8}{7}[/tex]

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{8 \sqrt{3} -7 \sqrt{3}cos \beta }{7}[/tex] Заместваме в [tex]sin^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]+[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]=1

[tex]\frac{192-2.8.7.3cos \beta +147 cos^{2 } \beta }{49}[/tex] +[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]=1

196[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]-336cos[tex]\beta[/tex]+143=0 ; k= -168 ,D=28 224-28 028 =196 ; [tex]cos_{1,2 }[/tex][tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{168 \pm14 }{196}[/tex]

(1 случай) cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{182}{196}[/tex]=[tex]\frac{13}{14}[/tex] лесно намираме sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{14}[/tex]
cos[tex]\gamma[/tex]=cos(60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])=cos60[tex]^\circ[/tex].cos[tex]\beta[/tex]+sin60[tex]^\circ[/tex].sin[tex]\beta[/tex]
cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{13}{14}[/tex]+[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex].[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{14}[/tex] ;cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{22}{28}[/tex]=[tex]\frac{11}{14}[/tex]

(2 случай) cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{154}{196}[/tex]=[tex]\frac{11}{14}[/tex] По същия начин като в(1 сл.) намираме cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{13}{14}[/tex]
Отговор [tex]\frac{11}{14}[/tex] и [tex]\frac{13}{14}[/tex]

[KOPMOPAH]

Задача с ъглополовяща.png (9.15 KiB) Прегледано 1253 пъти

Хубавото решение на Евва ме подтикна да намеря още един вариант.

Нека $I$ е центърът на вписаната окръжност, който дели ъглополовящата $AL$ в зададеното отношение. Без ограничение на общността можем да приемем $AI=8$ и $IL=7$, доколкото няма зададен линеен елемент. Можем да отбележим $AB$ с $8x$, а $BL$ - със $7x$. Тогава от косинусова теорема за $\triangle ABL$ имаме $$BL^2=AL^2+AB^2-2.AL.AB\cos BAL$$ $$49x^2=225+64x^2-2.15.8x.\cos 60^\circ$$ $$x^2-8x+15=0$$ Полученото квадратно уравнение има корени $x_1=3$ и $x_2=5$. На чертежа съм приел $x=3$ (при $x=5$ косинусите на ъглите $\measuredangle BAC$ и $\measuredangle ACB$ си разменят местата). Тогава отново прилагаме косинусова теорема за $\triangle ABL$ $$15^2=24^2+21^2-2.21.24\cos ABC$$От последния израз получаваме $$\cos ABC=\frac{11}{14}$$Аналогично се получава $\cos ACB=\frac{13}{14}$ при $y=5$.