Равностранен триъгълник

[Гост]

Даден е равностранен триъгълник ABC, в който точка O е пресечната точка на височините. Точка K дели страната BC в отношение CK :KB =1:4, а KO∩ AB = N . Да се намери лицето на триъгълник ABC, ако ON =1см.

[Гост]

111111.jpg (591.66 KiB) Прегледано 1334 пъти

[Гост]

Моля за помощ!

Даден е равностранен триъгълник ABC, в който точка O е пресечната точка на височините. Точка K дели страната BC в отношение CK :KB =1:4, а KO∩ AB = N . Да се намери лицето на триъгълник ABC, ако ON =1см.

[Евва]

Точка О се явява медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС .Нека СК=а и КВ=4а ,CD е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Построяваме права р ,която минава през т.О и p||AB ($) ; p[tex]\cap[/tex]BC =т. P
Построяваме права t,която минава през т.С и t||AB ;t[tex]\cap[/tex]KN= т.Т
[tex]S_{ABC }[/tex]=?

[tex]\triangle[/tex]NDO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]TCO (1 признак) [tex]\frac{DO}{CO} =\frac{NO}{TO} ; \frac{1}{2} = \frac{1}{TO}[/tex] ; TO=2 см. (1)

[tex]\triangle[/tex]NBK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]TCK (1 признак) [tex]\frac{NK}{TK}= \frac{BK}{CK} ; \frac{NO+OK}{TO-OK}= \frac{4a}{a} = \frac{4}{1}[/tex]

[tex]\frac{1+OK}{2-OK}= \frac{4}{1} ; OK= \frac{7}{5}[/tex] см. (2)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ОВР -правата ВО се явява и ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]АВС т.е. [tex]\angle[/tex]АВО=[tex]\angle[/tex]ОВР
От ($) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АВО=[tex]\angle[/tex]ВОР (вътрешно кръстни)
Тогава [tex]\angle[/tex]ОВР=[tex]\angle[/tex]ВОР=30[tex]^\circ[/tex] и [tex]\triangle[/tex]ОВР е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] ОР=ВР (3)

[tex]\triangle[/tex]DBC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]OPC (1 признак) [tex]\frac{DB}{OP}=\frac{DC}{OC} ; \frac{ \frac{5a}{2} }{OP}= \frac{DO+OC}{OC} ; \frac{5a}{2OP} = \frac{DO}{OC} +1[/tex]

[tex]\frac{5a}{2OP}= \frac{1}{2}+1 ; OP= \frac{5a}{3}[/tex] (4)
Накрая да намерим KP .
KP+BP=KB (виж (3) и (4)) KP+[tex]\frac{5a}{3}[/tex]=4a ;KP=[tex]\frac{7a}{3}[/tex] (5)

([tex]\triangle[/tex]OPK -cos T) [tex]OK^{2 } =OP^{2 } +KP^{2 } -2OP.KP.cos60 ^\circ[/tex]

[tex]\frac{49}{25} =\frac{25 a^{2 } }{9} +\frac{49 a^{2 } }{9} - 2.\frac{5a}{3} .\frac{7a}{3} . \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{49}{25} = \frac{39 a^{2 } }{9}[/tex] ; a=[tex]\frac{21}{5 \sqrt{39} }[/tex] см. [tex]\Rightarrow[/tex] BC=5a=[tex]\frac{21}{ \sqrt{39} }[/tex] см.(6)

[tex]S_{ABC } = \frac{ BC^{2 } \sqrt{3} }{4}= \frac{ \frac{441}{39}. \frac{ \sqrt{3} }{1} }{4} = \frac{147 \sqrt{3} }{52} см.^{2 }[/tex]