Симетрали в тъпоъгълен триъгълник.

[Валентина]

Здравейте, тази задача как трябва да се реши?
Симетралите на страните АС и ВС на тъпоъгълния триъгълник АВС ( ъгъл АСВ е по- голям от 90) се пресичат в н точка О и ъгъл АОВ е 140. Да се намери колко е ъгъл АСВ ?

[mail_dinko]

Центърът на описаната окръжност е пресечна точка на симетралите
Даден е центр. ъгъл AOB=140 градуса, той съотв. на дъга ACB=140 градуса
Дъгата AB, несъдържаща точка С е равна на 360-140=220 градуса
Вписан ъгъл ACB=0,5.220=110 градуса

[Валентина]

А без вписани окръжности, защото в 7 клас не са учили?

[S.B.]

Здравейте, тази задача как трябва да се реши?
Симетралите на страните АС и ВС на тъпоъгълния триъгълник АВС ( ъгъл АСВ е по- голям от 90) се пресичат в н точка О и ъгъл АОВ е 140. Да се намери колко е ъгъл АСВ ?

Без заглавие - 2023-03-04T200326.415.png (296.59 KiB) Прегледано 1441 пъти

[tex]O \in S_{BC } \Rightarrow BO = CO[/tex]
[tex]O \in S_{AC } \Rightarrow AO = CO[/tex]
[tex]\begin{cases} BO = CO\\ AO = CO \end{cases} \Rightarrow AO = BO \Rightarrow \triangle ABO[/tex] е равнобедрен,[tex]\angle AOB = 140 ^\circ \Rightarrow \angle ABO = \angle BAO = 20 ^\circ[/tex]
Нека [tex]\angle CAB = \alpha , \angle CBA = \beta , \angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]BO = CO \Rightarrow \triangle BOC[/tex] е равнобедрен ,[tex]\angle OBC = \angle OCB = \beta + 20 ^\circ[/tex]
[tex]AO = CO \Rightarrow \triangle AOC[/tex] е равнобедрен ,[tex]\angle OAC = \angle OCA = \alpha + 20 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ACO + \angle BCO = \angle ACB \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\alpha + 20 ^\circ + \beta + 20 ^\circ = \gamma \Leftrightarrow \alpha + \beta + 40 ^\circ = \gamma[/tex]
$$\Rightarrow \alpha + \beta = \gamma - 40 ^\circ$$

[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \gamma - 40 + \gamma= 180 ^\circ \Leftrightarrow 2 \gamma = 220 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \gamma = 110 ^\circ $$